Inscrire un cercle dans un triangle sphérique

752. Transformer un polygone sphérique en un triangle sphérique équivalent.

753. Trouver une aire plane équivalente à celle d’un triangle sphérique donné.

754. Les côtés opposés d’un quadrilatère sphérique étant égaux : i° les quatre angles du quadrilatère sont égaux, ses diagonales sont égales et se coupent mutuellement en parties égales, ses sommets sont dans un même plan et les cordes correspondantes forment un rectangle ; 2° l’aire de ce quadrilatère a pour mesure quatre fois l’excès de son angle sur un droit.

755. Dans un losange sphérique, les diagonales se coupent à angle droit.

756. Un cône à base circulaire étant inscrit dans une sphère, toute section faite dans ce cône par un plan perpendiculaire au diamètre qui passe par son sommet, est un cercle.

757. L’enveloppe sur une même sphère des bases de tous les triangles sphériques qui ont un angle commun et même périmètre est un cercle de la sphère. — Même problème sur le plan.

758. Dans tout polyèdre convexe, le nombre d’angles dièdres droits contenus dans la somme des angles dièdres, moins la moitié du nombre d'angles trièdres trirectangles contenus dans la somme des angles polyèdres, est égal à deux fois le nombre des faces du polyèdre diminué de deux.

759. Dans tout polyèdre convexe, la somme des angles polyèdres supplémentaires de ceux du polyèdre proposé est égale à huit angles trièdres trirectangles.

760. Si de chaque sommet d’un parallélipipède comme centre on décrit des sphères égales, toutes ces sphères réunies interceptent une portion du volume du parallélipipède égale à l’une d’elles.

761. Si P est le pôle d’un arc de grand cercle DE passant par les milieux D et E des côtés AB et AG d’un triangle sphérique BAC, l’angle BPG est le double de l’angle DPE.

762. Si trois petits cercles sont inscrits dans un triangle sphérique dont chaque angle est égal à 120 degrés, de manière que chacun de ces cercles touche à la fois les deux autres et deux côtés du triangle, leur rayon sphérique est égal à 3o degrés et leurs centres sont les sommets du triangle polaire du triangle donné.

763. Calculer en myriamètres carrés l’aire de l’une des deux zones glaciales, sachant que le petit cercle qui lui sert de base est à 23°3o' du pôle.

76 L Dans une sphère de rayon donné, mener un plan sécant AIB tel,

GÊOMÉTKIE UAISS L’ESPACE.

que le rapport de la calotte sphérique qu’il détermine à l’aire latérale du cône qui a pour base le cercle A1B et pour sommet le centre de la sphère, soit égal à /w; discussion.

765. Inscrire clans une sphère un cône dont l’aire latérale soit équivalente à celle de la calotte sphérique terminée au même cercle.

766. Si l’on divise une demi-circonférence en trois parties égales et si on la fait tourner autour de son diamètre, la zone engendrée par l’arc du milieu est équivalente à la somme des zones engendrées par les deux arcs extrêmes.

767. Diviser une zone en moyenne et extrême raison par un plan parallèle à ses bases.

768. La calotte interceptée par une sphère fixe sur une sphère sécante de rayon variable et qui passe toujours par son centre a une aire constante. — La zone interceptée par deux sphères fixes concentriques sur une sphère sécante de rayon variable et qui passe toujours par leur centre commun a une aire constante.

769. Placer sur le cercle générateur d’une sphère l’arc générateur d'une zone dont on connaît l’arc et la hauteur.

770. Placer sur une sphère donnée une calotte sphérique dont l’aire soit double de celle engendrée par la corde de l’arc générateur de la calotte.

771. Couper une sphère par un plan tel, que l’aire de la section soit égale à la différence des deux zones que ce plan détermine.

772. Un cylindre inscrit dans une sphère de i mètre de rayon a pour aire latérale la moitié de l’aire d’un grand cercle de la sphère : calculer son volume.

773. L’aire totale d’une chaudière cylindrique terminée par deux hémisphères est de à1 mètres carrés, toute section passant par l’axe a un périmètre de b mètres : calculer la hauteur et le rayon de la partie cylindrique de la chaudière; discussion.

774. Le poids de i décimètre cube de fonte étant 7ks,2, calculer avec la plus grande approximation possible le diamètre d’un boulet en fonte du poids de 24kg. — En déduire celui d’un boulet de 8kg.

775. Ayant mené la droite qui joint les milieux de deux côtés d’un triangle, on le fait tourner autour de son troisième côté pris pour axe : quel est le rapport des volumes engendrés par les deux parties du triangle?

776. Dans une sphère de rayon donné, mener un plan sécant AIB tel, que le rapport du segment à une base qu’il détermine, au secteur sphé-

rique ayant pour base la même calotte sphérique, soit égal à m ; discussion.

777. On prolonge l’un des côtés a d’un triangle équilatéral d’une longueur égale à a et, par l’extrémité obtenue, on élève une perpendiculaire à ce côté : calculer le volume engendré par le triangle équilatéral en tournant autour de cette perpendiculaire.

778. Inscrire dans une sphère donnée un cône de révolution tel, que les sections faites par un plan donné parallèle à su base, dans le cône et dans la sphère, soient dans un rapport donné.

779. Étant donnée une série de cercles concentriques, on mène dans ces cercles des cordes toutes égales entre elles et parallèles à un diamètre commun : les volumes engendrés par les segments correspondants en tournant autour de ce diamètre sont équivalents.

780. Étant donné sur une sphère de rayon R un cercle de rayon r, mener un second cercle parallèle au premier tel, que le rapport du segment compris entre ces deux cercles au cône qui a pour base le second cercle et qui a pour sommet le centre du premier soit égal à m ; discussion.

781. Les volumes d’un cône de révolution, d’une sphère et d’un cylindre de révolution, de môme hauteur, sont proportionnels aux nombres i, 2, 3, lorsque le cône et le cylindre ont pour bases un grand cercle de la sphère.

782. L’aire totale ou le volume du cylindre équilatéral inscrit ou circonscrit à une sphère est moyenne proportionnelle entre l’aire ou le volume de cette sphère et l’aire totale ou le volume du cône équilatéral inscrit ou circonscrit.

783. Calculer en fonction de leurs côtés les aires et les volumes engendrés par les polygones réguliers les plus simples, depuis le triangle jusqu’au dodécagone, lorsqu’ils tournent autour d’un de leurs côtés pris pour axe. — Même question, en prenant pour axe de rotation une perpendiculaire menée à l’extrémité d’un des diamètres du cercle circonscrit qui aboutit à un sommet du polygone considéré.

784. On prend un point B sur le prolongement du rayon OA d’un cercle donné, et l’on mène par ce point au cercle la tangente BT : chercher pour quelle position du point B les aires décrites par la droite BT et l’arc AT, lorsqu’on fait tourner la figure autour de l’axe OAB, sont dans un rapport donné; discussion.

785. Étant donné un triangle rectangle inscrit dans un demi-cercle, trouver le rapport du volume ou de l’aire qu’il engendre, lorsque la

GÉCMÉTHIE DANS L ESPACE.

figure tourne autour du diamètre du demi-cercle, au volume ou à l’aire de la sphère engendrée par ce demi-cercle. — Cas où le triangle rectangle donné est isocèle.

786. Inscrire ou circonscrire à une sphère donnée un cône ou un cylindre dont l’aire totale ou le volume soit à l’aire ou au volume de la sphère dans un rapport donné; discussion.

787. La longueur de l’axe d’une chaudière cylindrique terminée par deux hémisphères étant donnée, calculer les dimensions de la partie cylindrique de manière que la capacité de la chaudière ait une valeur donnée; discussion.

788. Étant donné le volume d’un secteur sphérique appartenant à une sphère de rayon R, chercher le maximum de son aire totale.

789. On donne les volumes engendrés par un triangle en tournant successivement autour de chacun de ses côtés : calculer les trois côtés du triangle.

790. Construire un triangle, connaissant deux côtés et sachant que le volume engendré par ce triangle en tournant autour du troisième côté est égal à la somme des volumes qu’il engendre en tournant successivement autour des deux côtés donnés.

791. D’un point B extérieur à' une circonférence O, on lui mène deux tangentes BA, BC, et l’on projette le point de contact C sur le rayon OA en D : démontrer que, si l’on fait tourner la figure autour de l’axe AOD, le volume engendré par le triangle mixtiligne ABC est équivalent au cône engendré par le triangle rectangle BAD, et le segment sphérique engendré par le triangle mixtiligne DAC équivalent au volume engendré par le triangle BCD.

792. On donne un cône de révolution et deux sphères inscrites dans ce cône et tangentes extérieurement l’une à l’autre; le volume compris entre le cône et les deux sphères proposées est la moitié du volume compris entre ce même cône et la sphère qui passe par ses deux cercles de contact avec les sphères données.

§ VII. — Généralités sur les surfaces.

793. Indiquer le lieu des points qui sont : i° à la distance a d’une droite A et à la distance b d’une droite B ; 2° à la distance a d’une droite A et à la distance p d’un plan P ; 3° à la distance a d’une droite A et à la distance b d’un point B.

794. Étant donnés dans l’espace un point et une surface conique ou

cylindrique de révolution, trouver la plus courte distance du point à la surface.

795. Trouver le lieu des points dont les distances à un point donné et à une droite donnée passant par ce point sont dans un rapport donné.

796. Un point et deux droites passant par ce point étant donnés, trouver le lieu des points dont les distances respectives au point donné et aux droites données sont proportionnelles à trois longueurs données.

797. Mener un plan tangent à une surface cylindrique ou à une surface conique de révolution : i° par un point donné de la surface; 2° par un point extérieur donné; 3° parallèlement à une droite donnée.

798. Étant donnés un nombre quelconque de plans et deux points A et B pris sur deux d’entre eux, trouver le plus court chemin qui conduit du point A au point B, sans sortir des plans proposés. — Application à la recherche du plus court chemin entre deux points sur une surface cylindrique ou conique.

799. Trouver le lieu des points tels, que les plans tangents menés de chacun d’eux à un cylindre ou à un cône donné se coupent sous un angle donné.

800. Deux cylindres de révolution dont les axes sont parallèles ou deux cônes ayant même sommet étant donnés, trouver le lieu des points tels, que les plans tangents menés de chacun d’eux à l’une des surfaces fassent le même angle que les plans tangents menés du même point à l’autre surface.

801. Construire un cône ou un cylindre de révolution, connaissant trois génératrices.

802. Construire un cône de révolution, connaissant : i° l’axe, le sommet et le rapport des distances d’un point de la surface au sommet et à l’axe; 2° l’axe, le sommet et un plan tangent à la surface; 3° le sommet, un plan dans lequel se trouve l’axe et deux plans tangents à la surface; 4° trois plans tangents à la surface.

803. La Lune et le Soleil étant supposés parfaitement sphériques et le volume du Soleil étant environ 63oooooo de fois celui de la Lune, calculer le rapport des distances des centres de ces deux astres à la Terre, lorsqu’ils ont le même diamètre apparent, c’est-à-dire lorsqu’ils sont vus sous le même angle.

804. Les rayons de la Lune, de la Terre et du Soleil étant proportion-

nels aux nombres — > i et io8.5, trouver le rapport des distances du

centre de la Terre aux centres des deux autres astres, lorsqu’on suppose

GfiOMÉTKIE DANS L’ESPACE.

les centres de ces trois globes sur l’axe d’un cône de révolution qui leur est tangent; considérer le cas où les trois astres sont tangents à une même nappe, et celui où, la Terre étant située dans une nappe, les deux autres astres sont dans la nappe opposée.