MÉTHODES DES SUBSTITUTIONS SUCCESSIVES

166. Et d’abord, sauf pour un petit nombre de questions très simples qui se résolvent immédiatement, on procède toujours par substitutions successives. On ramène le problème proposé à un autre, qui se ramène à son tour à un troisième, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on arrive à un problème connu ou dont la solution soit immédiate.

C’est ainsi, par exemple, que le problème de mener par un point une parallèle à une droite se ramène à la construction d’un angle égal à un angle donné; que toutes les questions relatives aux perpendiculaires se ramènent à la première d’entre elles, mener une perpendiculaire sur le milieu d’une droite; que le problème de la tangente commune à deux cercles se ramène à la construction d’une tangente par un point extérieur, etc.

Voici un nouvel exemple un peu moins simple :

Construire, de tous les triangles équilatéraux dont tes côtés passent par trois points donnés A, B, C, celui qui a le plus grand périmètre.

Fig. 124.

Fig. 125.

Le sommet M du triangle cherché MNP [fig. \i\) doit se trouver sur

GÉOMÉTRIE PLAISE

lo segment capable de 60 degrés décrit sur AB. De môme, le segment capable de 60 degrés décrit sur AC doit renfermer le sommet N. Ün obtiendra donc un triangle équilatéral circonscrit au triangle ABC, en décrivant sur AB et sur AC deux segments de 60 degrés, menant à volonté par le point A une sécante MAN, et tirant MB, NC, qui, par leur rencontre, donneront le troisième sommet P; il restera alors à choisir parmi tous les triangles qu’on obtient ainsi celui dont le côté MAN est maximum. Le problème est donc ramené au suivant : Mener , par un /.oint A commun à deux circonférences C et D, la sécante maximum [fig. 125). Or, MAN étant une sécante quelconque, si l’on abaisse des centres C et D des perpendiculaires CP, DB, sur cette sécante, la droite PR sera la moitié de la sécante, et il suffira de chercher le maximum de PU ou de la parallèle DL qui lui est égale. Mais le triangle rectangle DLC donne DL < CD; CD est donc le maximum de PR, et ce maximum a lieu lorsque la sécante MAN est parallèle à la ligne des centres C et D des deux circonférences.

167. Parfois le problème auquel on ramène la question proposée est plus général que celle-ci. Il faut alors ne prendre parmi les solutions du second problème que celles qui conviennent à la question primitive, et écarter les solutions étrangères. Ainsi, au n° 146, nous avons ramené le problème proposé à trouver sur la droite BA un point A dont la distance au point C soit égale à b. Mais, pour répondre au problème considéré, la droite AC = b doit, en outre, être placée dans l’angle donné B. C’est pourquoi, dans la discussion (146), nous avons rejeté les droites comprises dans l’angle adjacent et supplémentaire de l’angle B.

La méthode de substitutions successives n’est pas seulement un procédé géométrique, c’est la marche que suit naturellement l’esprit pour établir une proposition quelconque dont l’évidence n’est pas immédiate. C’est ce qui explique l’intervention de cette méthode dans la démonstration de la plupart des théorèmes de Géométrie. Pour prouver la vérité d’une proposition A, on la ramène à une proposition B, qu’on ramène à son tour à une troisième proposition C, et ainsi de suite, jusqu’à ce qu’on parvienne à une dernière proposition M évidente par elle-même ou démontrée antérieurement. Mais, pour l’exactitude du raisonnement, il est indispensable qu’il y ait réciprocité entre deux propositions consécutives quelconques de fa série A, B, C, . . . , M ; en d’autres termes, chacunc^des deux propositions consécutives considérées doit entraîner l’autre, sans quoi k vérité de la proposition finale M n’entraînerait pas celle de la premièrt proposition A.

Dès qu’on est arrivé à construire la chaîne des propositions A, B, C, . . . M, on peut exposer la démonstration de deux manières : soit en suivan l’ordre même A, B, C, . . . , M, de l’invention, soit en partant au contrairi de la proposition M et en remontant la série dans l’ordre inverse M,