LIVRE VIH

LES COURBES USUELLES

§§ I, II. — Propriétés fondamentales de l’ellipse et de l’hyperbole.

844. Quelle est la plus courte et la plus grande distance du centre de l’ellipse à un point de la courbe ?

845. Quel est le lieu du centre d’une ellipse cpii glisse entre deux axes rectangulaires ?

816. Deux ellipses dont les grands axes sont égaux et qui ont un foyer commun ne peuvent se couper qu’en deux points.

847. Quel est le lieu des points également distants de deux circonférences intérieures ou extérieures l'une à l’autre?

848. Quel est le lieu des centres des cercles tangents à deux cercles donnés? — On examinera les différents cas possibles.

849. Sur les deux tangentes PM, PM', à une ellipse ou à une hyperbole dont les foyers sont F et F', on prend des longueurs PQ, PQ', respectivement égales à PF et à PF': démontrer que la droite QQ'est égale au grand axe de l’ellipse ou à l’axe transverse de l’hyperbole.

850. Le grand axe de l’ellipse ou l’axe transverse de l’hyperbole et une tangente quelconque interceptent, sur les deux tangentes menées aux extrémités de l’axe de la courbe, des longueurs dont le produit est constant.

851. Des cercles touchent une droite AB en un point fixe C, et des points fixes A et B on mène des tangentes à ces cercles : trouver le lieu des points d’intersection de ces tangentes.— Le point C peut être entre A et B ou sur AB prolongée.

852. Soient les deux tangentes menées à l’ellipse ou à l’hyperbole par un point extérieur et une troisième tangente quelconque: démontrer que la longueur interceptée sur cette troisième tangente par les deux premières est vue de chaque foyer sous un angle constant.

853. Démontrer directement que, si l’on mène à une hyperbole deux

tangentes PM, PM', par un même point extérieur P, les angles PFM, PFM' sont égaux ou supplémentaires, suivant que les points de contact Met M' appartiennent ou non à la même moitié de la courbe.

854. Trouver le lieu des centres des ellipses dont le grand axe a la même longueur, qui ont un foyer commun et qui touchent une droite donnée.

855. Quels sont les lieux géométriques : i°des sommets; 20 des points de rencontre des côtés non parallèles; 3° des points d’intersection des diagonales, des trapèzes construits sur une base fixe, et dans lesquels la longueur de l’autre base est donnée, ainsi que la somme ou la différence des côtés non parallèles ?

856. Construire une ellipse ou une hyperbole, connaissant : i° ses foyers et un point; 20 ses foyers et une tangente; 3° un foyer, deux points et une tangente ; 4° un foyer, un sommet et une tangente; 5° un foyer, deux tangentes et le point de contact de l’une d’elles ; 6° un foyer et trois tangentes; 70 le centre, deux tangentes et la longueur du grand axe ou de l’axe transverse.

857. On donne les positions d’un foyer et d’un point d’une ellipse, ainsi que les longueurs des axes : déterminer son cenire.

858. Le cercle qui a pour diamètre la portion d’une tangente quelconque à l’hyperbole interceptée par les tangentes menées aux extrémités de l’axe transverse passe par les foyers de la courbe.

§ III. — Propriétés fondamentales de la parabole.

859. La perpendiculaire abaissée du foyer delà parabole sur une tangente à la courbe est moyenne proportionnelle entre le rayon vecteur du point de contact et la moitié du paramètre p.

860. Si PM et PM' sont les deux tangentes menées à la parabole par un point extérieur P, les triangles FPM, FPM', sont semblables, et FP est la moyenne proportionnelle des rayons vecteurs FM, FM', des deux points de contact.

861. Si PM et PM' sont les deux tangentes menées à la parabole par un point extérieur P, démontrer que la parallèle menée à l’axe par le point P passe par le milieu de la corde MM', et que la tangente au point où cette parallèle rencontre la courbe est elle-même parallèle à la corde MM'.

862. Si l’on rapporte la parabole à une tangente et au diamètre mené par son point de contact pris comme axes coordonnés, le carré de For-

GÉOMÉTRIE DANS I.’eSPACE.

donnée d’un point de la courbe est égal à quatre fois le produit du rayon vecteur de l’extrémité du diamètre par l’abscisse du point considéré.

863. Si deux cordes de la parabole se coupent, les produits de leurs segments sont dans le rapport des rayons vecteurs des extrémités des diamètres qui leur sont conjugués.

864. MN étant une tangente commune à la parabole et au cercle décrit sur la corde menée perpendiculairement à l’axe par le foyer comme diamètre, démontrer que les droites FM et FN sont également inclinées sur cette corde.

865. La tangente en un point de la parabole rencontre la directrice et la corde menée par le foyer, perpendiculairement à l’axe, en des points équidistants du foyer.

866. Si l’ordonnée d’un point M de la parabole passe par le milieu de la sous-normale qui correspond à un point M', l’ordonnée du point M est égale à la normale qui correspond au point M'.

867. Si d’un point pris sur une tangente à la parabole on mène une autre tangente à la courbe, l’angle compris entre cette tangente et la droite menée du même point au foyer est constant.

868. Construire une parabole qui touche un cercle donné en un point donné, et dont l’axe soit tangent au même cercle en un autre point donné.

869. Si par le point de contact d’une tangente à la parabole on tire une corde, puis qu’on trace une autre droite parallèle à l’axe, la portion de cette droite comprise entre la tangente et la corde sera divisée par son point de rencontre avec la courbe dans le même rapport que cette droite elle-même divise la corde.

870. Si le diamètre de la parabole menée par le point M rencontre la directrice en K et la corde menée par le foyer parallèlement à la tangente MT en II, on a

MK= MI1.

871. Quel est le lieu du point d’intersection du diamètre mené en un point de la parabole avec la corde tracée par le foyer parallèlement à la tangente au même point?

872. AB et AC étant deux droites rectangidaires, on mène la droite quelconque AR et la parallèle fixe CR à AB, puis, on prend sur AR un point M tel que son ordonnée MQ par rapport à AB soit égale à CR: quel est le lieu du point M ?

873. On considère dans un cercle un diamètre fixe AOB et un rayon quelconque OC; D étant le milieu de la corde CE menée parallèlement

au diamètre fixe, on demande le lieu du point d’intersection des droites OC et AD.

874. Si deux tangentes égales à la parabole sont coupées par une troisième, les segments déterminés sur ces tangentes sont égaux, mais les segments égaux ne sont pas placés de même sur les deux tangentes.

875. Le cercle déterminé par les points d’intersection de trois tangentes à la parabole passe par le foyer.

876. MFN étant une corde quelconque menée par le foyer de la parabole., si l’on trace du sommet S les droites SM et SN, elles rencontrent la corde focale perpendiculaire à l’axe en deux points P et Q dont les distances au foyer sont égales aux ordonnées des points N et M.

877. Si d'un point O pris sur l’axe de la parabole on mène une corde, la distance SO du sommet S au point O est la moyenne proportionnelle des abscisses des extrémités de la corde.

878. Du sommet S, on mène deux droites rectangulaires qui viennent rencontrer la parabole aux points M etM'; le paramètre ip est la moyenne proportionnelle des abscisses des points M et M'.

879. Quel est le lieu du centre du cercle inscrit dans le secteur circulaire AOB, dont l’un des rayons OA est fixe et dont l’autre OB est mobile ?

880. Sur une corde de la parabole comme diamètre, on décrit un cercle qui coupe la parabole en deux autres points; si l’on joint ces points, les deux cordes considérées interceptent sur l’axe de la courbe une longueur égale au paramètre ip .

8S1 . Deux paraboles égales qui ont un même foyer et leurs axes dirigés en sens contraires se coupent à angle droit.

882. Si un triangle est inscrit dans une parabole, les points où ses côtés prolongés viennent rencontrer les tangentes menées à la courbe par les sommets opposés sont en ligne droite.

883 Si les tangentes PM, PM', à la parabole sont coupées en Q et en O' par une troisième tangente, on a