PQ Q'M

QM ” W *

884, Si l’on tire par le sommet de la parabole des cordes à angle droit l’une sur l’autre, et qu’on construise sur ces cordes un rectangle, quel est le lieu de son quatrième sommet ?

885. Si une parabole roule sur une autre parabole égale, les sommets

Pi. et r>R C. — Tr. de Géom. (II6 Partie), 35

5^6 GÉOMÉTRIE DANS 1,’ESrACE.

étant d’abord confondus, le foyer de chaque courbe trace la directrice de l’autre.

886. Quel est le lieu des points également distants d’une droite et d’une circonférence données?

887. Quel est le lieu des points dont la somme ou la différence des distances à un point fixe et à une droite fixe est constante?

888. Des extrémités d’une corde focale de la parabole on abaisse des perpendiculaires sur une droite quelconque de son plan; la somme des rapports de chaque ordonnée au rayon vecteur correspondant est constante.

889. Les carrés des perpendiculaires abaissées du foyer de la parabole sur deux tangentes sont proportionnels aux rayons vecteurs des points de contact.

890. Construire une parabole, connaissant : i° le foyer ou la directrice et deux points ; 2° le foyer ou la directrice, un point et une tangente ; 3° le foyer ou la directrice, une tangente et son point de contact ; 4° le foyer ou la directrice et deux tangentes; 5° trois tangentes, parmi lesquelles la tangente au sommet; 6° quatre tangentes.

§§ IV, V, VI. — Ellipse considérée comme projection orthogonale du cercle. — Parabole considérée comme limite de l’ellipse. — Ellipse, Hyperbole et Parabole, considérées comme sections planes du cône de révolution.

891. La demi-corde focale de l’ellipse ou de l’hyperbole, perpendiculaire au grand axe ou à l’axe transverse de la courbe, est égale

892. Los tangentes aux extrémités d’une corde focale se coupent sur la directrice correspondante.

893. Si la tangente en M à l’ellipse ou à l’hyperbole de centre G rencontre en T le grand axe ou l’axe transverse de la courbe, MP étant l’ordonnée du point M par rapport à cet axe, on a

CT. CP = aï.

894. Les tangentes fixes aux sommets A et A' d’une ellipse de centre C étant rencontrées par une tangente mobile en M et en M', on projette M’ sur CM en P ; démontrer que le lieu du point P est un cercle passant par C.

895. Dans l’ellipse ou l’hyperbole, la distance d’un foyer au pied d’une normale sur le grand axe ou sur Taxe transverse de la courbe estau rayon vecteur correspondant du point de contact dans un rapport égal à l’excentricité de la courbe.

896. On mène l’ordonnée d’un point de l’ellipse ou de l’hyperbole et la normale au même point; le rapport des distances du pied de l’ordonnée au pied de la normale sur le grand axe, ou sur l’axe transverse et au

897. MP étant l’ordonnée d’un point de l’ellipse ou de l’hyperbole dont le grand axe ou l’axe transverse est AA', on a

MP 2 b'1 A P. A T “ a1'

898. Si une tangente en M à l’ellipse ou à l’hyperbole rencontre le petit axe ou l’axe non transverse en U, et si Q est la projection de M sur le même axe, C étant le centre de la courbe, on a

CU.CQ = b\

899. Si deux tangentes PM, PM', à l’ellipse partent d’un même point P, le centre de la courbe étant C, et la droite CP coupant la courbe en R et la corde de contact MM' en H, on a

CR = Cil. CP.

900. Les normales en deux points M et M' d’une ellipse rencontrant l’un des axes en P et P', la perpendiculaire élevée au milieu de MM' passe par le milieu de PP'.

901. Une tangente mobile rencontrant en M et en M' les tangentes fixes aux sommets A et A' d’une ellipse, le point d’intersection P des droites AM' et A'M décrit une ellipse concentrique à la première.

902. Si l’on rapporte une ellipse ou une hyperbole à deux diamètres conjugués DD' et EE', de longueurs ia! et ib' , pris comme axes coordonnés, MP étant l’ordonnée d’un point M de la courbe, on a

MP2 bn ÏÏpTD'P ~ cï1'

903. Si CD et CE sont deux diamètres conjugués de l’ellipse ou de l’hyperbole, et que la perpendiculaire EK à CD rencontre le grand axe ou l’axe transverse de la courbe en G, on a

EK.EG = b\

5'{R GÊOMÉ'lilîE DANS L’ESPACE.

904. Si CD et CE sont deux diamètres conjugués de l’ellipse ou de l’hyperbole, on a

FE.F'E = Cl)2 .

903. Si deux cordes se coupent dans l’ellipse ou l’hyperbole, les produits de leurs segments sont proportionnels aux carrés des diamètres parallèles à ces cordes.

906. La distance du centre de l’hyperbole au point où une asymptote coupe une directrice est égale au demi-axe transverse. — La perpendiculaire abaissée d’un foyer sur une asymptote est égale au demi-axe non transverse. — Si une asymptote rencontre la tangente au sommet À en 11 et la directrice correspondante en I, AI est parallèle à FH.

907. Soit un point K de l’asymptote d’une hyperbole, dont l’ordonnée et l’abscisse par rapport aux axes de la courbe sont KP et KR; si KP coupe l’hyperbole en M et si KR coupe l’hyperbole conjuguée en N, on a

KP2 — MP2 = b2 et KIP — - N R2 = u'1.

De plus, la droite MN est parallèle à la seconde asymptote de l’hyperbole.

908. La directrice d’une hyperbole joint les projections du foyer correspondant sur les asymptotes.

909. Si par le point M d’une hyperbole on tire une sécante quelconque qui coupe les deux asymptotes en P et P', la tangente parallèle à cette sécante et limitée aux deux asymptotes étant LQL', on a

MP. MP’ = QL2.

910. Deux hyperboles conjuguées interceptent sur une sécante quelconque des longueurs égales.

911. Tout point de l’hyperbole est également distant d’un foyer et de la directrice correspondante, cette dernière distance étant comptée parallèlement à une asymptote.

912. Si une tangente LQL' coupe les asymptotes en L et en L', l’aire du triangle CLL' est égale à ab.

913. Si M et N sont les points de rencontre de deux hyperboles conjuguées avec l’ordonnée et l’abscisse d’un point d’une de leurs asymptotes, les tangentes menées aux deux courbes en M et en N sont respectivement parallèles à CN et à CM.

914. Soit un point M de l’hyperbole; si MP est l’ordonnée de ce point par rapport au diamètre Cl) (c’est-à-dire la parallèle menée par M à la tangente en D) et si la tangente en M coupe CD en T, on a