QUESTIONS DIVERSES

DE GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

1022. Construire un triangle sphérique, connaissant son aire, un côté et le cercle circonscrit.

1023. Construire un triangle sphérique, connaissant son aire, sa base et sa hauteur.

1024. La sphère variable assujettie à couper deux sphères fixes suivant leurs grands cercles passe par deux points fixes.

102o. Les milieux des arêtes d’un tétraèdre ne sont sur une même sphère que si les hauteurs du tétraèdre passent par un même point, et alors ia sphère qui les contient passe par les pieds des plus courtes distances des arêtes opposées.

1026. Si une sphère variable coupe trois sphères fixes sous des angles égaux, mais indéterminés, son centre ne sort pas d’un certain plan.

1027. Si une sphère variable coupe quatre sphères données sous des angles égaux, mais variables simultanément, son centre décrit une droite.

1028. Mener une sphère qui coupe quatre sphères données suivant leurs grands cercles.

1029. Dans un tétraèdre dont les hauteurs se rencontrent en un même point, les centres de gravité des faces, les pieds des quatre hauteurs et les points situés aux deux tiers des droites qui joignent chaque sommet au point de rencontre des hauteurs sont sur une même sphère, dont le rayon est égal au tiers du rayon de la sphère circonscrite et dont le centre est au milieu de la droite qui joint le point de concours des hauteurs au point de concours des perpendiculaires élevées sur chaque face par son centre de gravité.

1030. Mener une sphère qui en coupe cinq autres sous des angles égaux.

1031. Enjoignant un point de l’espace aux sommets d’un tétraèdre,

GÉOMÉTRIE UAiNS L’ESPACE.

on obtient une figure dont les plans des faces opposées se coupent deux à deux suivant trois droites comprises dans un même plan; la diagonale issue d’un sommet, divisée par la longueur de son prolongement jusqu’à ce plan, est égale à la somme des trois côtés adjacents à ce sommet, divisés respectivement par les longueurs de leurs prolongements jusqu’au même plan.

1032. Une série d’ellipses ont leurs diamètres conjugués égaux de même longueur; l’un de ces diamètres est fixe et commun à toutes les ellipses, l’autre varie de position quand on passe d’une ellipse à la suivante. Si l’on prend un point fixe sur le diamètre fixe prolongé et si l’on mène de ce point des tangentes aux ellipses considérées, quel est le lieu des points de contact de toutes ces tangentes ?

1033. Si l’on décrit une ellipse sur le grand côté d’un rectangle comme grand axe, de manière qu’elle passe par le point d’intersection des dia gonales, et si l’on joint un point de l’ellipse extérieur, à ce rectangle aux extrémités du côté opposé au grand axe, les droites ainsi déterminées divisent le grand axe en segments qui sont en progression géométrique.

1031. Le produit des segments déterminés par son point de contact sur une tangente à l’ellipse, limitée à ses points de rencontre avec les axes, est égal au carré du demi-diamètre parallèle à la tangente.

1033. Quel est le lieu du second foyer des ellipses qui ont un foyer commun et deux tangentes communes ?

1036. Quel est le lieu des milieux de toutes les cordes d’une ellipse qui vont converger en un point fixe ?

1037. Si deux diamètres conjugués d’une ellipse sont en même temps les asymptotes d’une hyperbole, les points de contact des tangentes communes à l’ellipse et à l’hyperbole sont sur une ellipse semblable à la proposée.

1038. La base AB du triangle ABC reste fixe, tandis que le sommet C décrit une hyperbole équilatère passant par les points A et B : P et Q étant les points où AC et BC rencontrent le cercle décrit sur AB comme diamètre, trouver le lieu des points d’intersection de AQ et de BP.

1039. Quel est le lieu du second foyer des ellipses qui ont un foyer commun et qui passent par deux points donnés?

1010. Quel est le lieu des centres des hyperboles équilatères qui passent par trois points donnés?

1041 . Si l’on joint aux deux foyers de l’hyperbole les points de ren-

QUESTIONS PROPOSÉES. 56 ï

contre d’une tangente à la courbe avec les asymptotes, on obtient un quadrilatère inscriptible.

1042. Si l’on prend sur la corde focale principale d’une parabole deux points également distants du foyer, le trapèze formé en abaissant de ces points des perpendiculaires sur une tangente quelconque à la courbe a une aire constante.

1043. Les produits des distances du foyer d’une parabole aux sommets opposés d’un quadrilatère circonscrit à la courbe sont égaux.

1044. Étant données deux tangentes à la parabole, si on leur mène des parallèles par un point quelconque de leur corde de contact, la diagonale du parallélogramme ainsi formé, qui est opposée au point choisi sur la corde de contact, est tangente à la courbe.

1045. En un point P de la parabole, la corde du cercle de courbure, qui est menée parallèlement à l’axe de la courbe, est égale à quatre fois le rayon vecteur du point P.

1046. La corde Pli du cercle de courbure au point P de l’ellipse onde

l’hyperbole, qui est menée par le centre G de la courbe, satisfait à la re-

lation PH. CP = 2 CD , CD étant le conjugué du diamètre CP.

1047. Étant donnés deux triangles, projeter le premier sur un plan de telle sorte que sa projection soit semblable au second triangle.

1048. Couper un cône de révolution donné suivant une ellipse d’excentricité donnée.

1049. Deux cônes de révolution qui se coupent ont même axe, et l’angle au sommet du cône intérieur est de 60 degrés : démontrer que le sommet de ce cône est un foyer commun de toutes les sections déterminées sur le cône extérieur par les plans tangents au cône intérieur.

1050. Construire une sphère admettant avec quatre sphères données des tangentes communes de longueurs données.

1051. On appelle liomocy clique s deux cônes qui ont même sommet et mêmes plans cycliques. Démontrer que, lorsqu’un plan mené par le sommet commun de deux cônes homocycliques coupe ces cônes suivant quatre arêtes, les deux arêtes de l’un font respectivement deux angles égaux avec les deux arêtes de l’autre. — Qu’arrive-t-il en particulier lorsque le plan considéré coupe l’un des cônes et touche l’autre ?

1052. Quand un plan touche deux cônes homocycliques, les deux arêtes de contact sont rectangulaires.

1053. SA et SB étant deux arêtes rectangulaires prises sur deux cônes homocycliques, le plan ASB coupe les deux cônes suivant deux autres

R. et de C. — Tr. de Gcom. ( IIe Partie). 36

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

arêtes SA' et SB' qui sont, encore perpendiculaires l’une à l’autre; les quatre droites suivant lesquelles se coupent les plans tangents au premier cône suivant SA et SA', et les plans tangents au second cône suivant SB et SB', appartiennent à un troisième cône homocyclique avec les deux premiers ; ce troisième cône reste le même, quelles que soient les deux arêtes rectangulaires primitives SA et SB.

1054. Quand deux cônes sont homocycliques, deux plans tangents au premier cône coupent l’autre cône suivant quatre arêtes appartenant à un cône de révolution dont l’axe est normal aux arêtes de contact des deux plans tangents.

1055. Étant donnés un cône à base circulaire et deux plans fixes tangents à ce cône, si un autre plan tangent roule sur le cône, ses intersections avec les deux plans fixes sont telles, que les plans menés par chacune d’elles et une ligne focale font un angle constant.

1050. Pour qu’un quadrilatère gauche ait ses quatre côtés sur un hyperboloïde de révolution, il faut et il suffit que la somme de deux quelconques de ses côtés soit égale à celle des deux autres.

1057. Toute section plane du tore est le lieu d’un point tel que le produit des longueurs des tangentes menées de ce point à deux cercles soit proportionnel à la distance de ce point à une droite. — Que devient ce théorème, lorsque le plan de la section est parallèle à l’axe du tore?

1058. Un polygone plan se déforme de telle sorte que ses sommets, moins un, glissent sur des droites fixes, tous ses côtés étant vus d’autant de points fixes sous des angles donnés: trouver le lieu du dernier sommet. — Quel est le théorème corrélatif?

1059. Sur les trois diagonales d’un quadrilatère complet, on prend trois couples de points qui divisent harmoniquement ces trois droites: démontrer que les six points considérés sont sur une conique. — Quel est le théorème corrélatif?

1060. On donne une conique et un triangle situé dans son plan ; démontrer : i° que les droites qui joignent les sommets du triangle aux pôles des côtés opposés par rapport à la conique concourent en un même point; a° que les côtés rencontrent les polaires des sommets opposés en trois points en ligne droite.

1061. Si autour d’un point fixe on fait tourner une sécante qui rencontre une conique aux points a et n\ la somme algébrique des inverses des distances des points a et d à la polaire du point fixe est constante.

1062. Construire la conique déterminée par cinq points, dont quatre sont imaginaires.

1063. Construire la conique déterminée par cinq tangentes, dont quatre sont imaginaires.

1 06 i. Projeter une conique suivant une hyperbole équilatère.

1065. La polaire réciproque d’une parabole par rapport à un point de la directrice est une hyperbole équilatère.

1066. Les hauteurs d’un triangle circonscrit à la parabole se coupent sur la directrice.

1067. Les hauteurs d’un triangle inscrit dans une hyperbole équilatère se coupent sur la courbe.

1068. Inscrire dans une conique un polygone dont les côtés passent par autant de points fixes.

1069. Construire une conique tangente à trois droites et ayantun double contact avec une conique donnée.

1070. Trouver le lieu des milieux des cordes d’une conique issues d’un point fixe. — Généraliser par projection.

1071. Trouver l’enveloppe des cordes d’une conique qui ont leurs milieux sur une droite donnée. — Généraliser par projection.

1072. ABC étant un triangle circonscrit à une conique, et a, (3, 7, les points de contact de BC, CA, AB, on joint un point quelconque P du plan aux sommets B et C; si l'on désigne par I et K les points où la corde py rencontre respectivement CP et BP, les trois droites Pa, Blet CK concourent en un même point. Déduire de là le moyen de trouver le point de contact d’une tangente à une conique qui touche en des points donnés les côtés d’un angle donné.

1073. Si, sur les rayons menés d’une origine fixe O aux divers points d’un plan P on porte des longueurs proportionnellesaux valeurs inverses de ces rayons, les plans conduits perpendiculairement à ces droites par leurs extrémités passent tous par un même point p. Lorsque, l’origine O restant fixe, le plan P se déplace en passant sans cesse par un même point, le point p ne sort pas d’un certain plan.

1074. Une droite glisse sur trois droites fixes prises à volonté dans l’espace. — Quel est le lieu décrit par la trace de cette droite sur un plan fixe quelconque?

1075. La somme des angles d’un quadrilatère gauche est moindre, que quatre angles droits.

1076. O11 peut couper un tétraèdre régulier suivant un carré. — Démontrer que le contour apparent du tétraèdre régulier projeté sur un

GtëOMÉTltlE DANS I.’ ESPACE.

plan parallèle à une section carrée, est à la fois un carré et le contour apparent maximum du tétraèdre projeté sur un plan.

1077. Lorsqu’on projette orthogonalement un cube sur un plan perpendiculaire à une de ses diagonales, le contour apparent obtenu est à la fois un hexagone régulier partagé en trois losanges et le contour apparent maximum du cube projeté sur un plan.

1078. On peut projeter l’octaèdre régulier de manière à obtenir un contour apparent hexagonal régulier.

1079. Le centre de gravité du périmètre ou de l’aire d’un polygone régulier convexe d’un nombre impair de côtés, est le centre du polygone.

1080. Si deux systèmes de points ABC DE. . . A'B'C'D'E'. . . . , sont tels, que toute distance BD soit égale à la distance correspondante B'D', le système A'B'C'D'E'. ... est superposable au système ABCDE. ... ou à son symétrique.

1081. Si une figure occupe différentes positions dans l’espace, on peut toujours l’amener d’une position à une autre par une rotation autour d’un certain axe et par une translation suivant cet axe.

108:2. Trouver l’aire latérale et le volume d’un tronc de cylindre.

1083. Si un cône de révolution est inscrit dans un angle trièdre formé par trois plans tangents, les plans menés par chaque génératrice de contact et l’arête opposée de l’angle trièdre se coupent suivant une même droite.

J 081. Toute section d’un cône oblique à base circulaire, perpendiculaire au plan principal, appartient à un cône droit.

1085. Étant donnés trois points ou trois arcs tangents et un arc cyclique d’une conique sphérique, déterminer le pôle de cet arc.

1086. Étant donnés trois points et un arc cyclique d’une conique sphérique, déterminer le second arc cyclique de cette courbe.

1087. Étant donnés trois arcs tangents et un foyer d’une conique sphérique, déterminer le second foyer de cette courbe.

1088. Quelle est la surface polaire d’une conique par rapport à une sphère? — Examiner le cas particulier où la conique est un cercle. — (On nomme surface polaire d’une ligne l’enveloppe des plans polaires do ses divers points. )

1089. Si deux cônes du second ordre ont une ligne focale commune, ils se coupent suivant deux courbes planes.

QUESTIONS PHOrOSftES. 565

1090. Quelle est la surface polaire d’une sphère par rapport à une sphère?

1091. Une conique tourne autour de son axe focal. Quelle est la section de la surface de révolution ainsi engendrée par un plan passant par un foyer de la conique donnée?

1092. Quelle est la projection d’une section plane d’une surface do révolution du second ordre , sur un plan perpendiculaire au rayon vecteur mené d’un foyer de la surface à l’extrémité du diamètre qui passe par le centre de la section?

1093. Circonscrire un tétraèdre à une surface de révolution du second ordre, dont un foyer est donné.

1091. Deux surfaces de révolution du second ordre, qui ont un foyer commun, se coupent suivant deux courbes planes; les plans de ces courbes et les deux plans directeurs forment un faisceau harmonique.

1095. D’un point de l’espace, on peut généralement mener six normales à une surface du second ordre; ces six droites sont sur un cône du second degré, qui passe par le centre de la surface et contient les trois axes principaux du cône circonscrit à la surface, qui a pour sommet le point donné.

1096. Les notations étant les mêmes que dans le théorème d Euler (688), démontrer les inégalités :

1097. Le volume du parallélipipède construit sur trois génératrices quelconques de même système d’un hyperboloïde est constant.

1098. Inscrire dans une sphère donnée un polygone dont chaque côté passe par un point donné.

NOTES

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