Ç)P = FM

922. M étant un point fixe d’une ellipse et ÇQ' une corde quelconque conjuguée au diamètre CM, le cercle QMQ' rencontre l’ellipse proposée en un point fixe.

923. M étant un point de l’ellipse, on tire la corde MM' parallèle au grand axe, et, par le point M', on mène les cordes M'Q, M'Q', faisant des angles égaux avec le grand axe : démontrer que la droite QQ' est parallèle à la tangente en M.

55o GÊ03IÊTKIE DANS L’ESPACE.

924 Quel est le parallélogramme d’aire minimum circonscrit à l’ellipse ?

925. Quand la somme de deux diamètres conjugués de l’ellipse est-elle minimum ?

926. Si du point M de l’ellipse on tire des droites aux extrémités d’un diamètre DD', lesquelles coupent son conjugué EE' aux points P et P', on a

CP.CP' = cïï\

927. Si CD et CE sont deux demi -diamètres conjugués de l’ellipse, on a

(FD-«)2h-(FE-«)2 = c2.

928. Soient CD et CE deux demi-diamètres conjugués de l’ellipse dont les axes sont AA' et BB' ; traçons les droites BD et BE, ainsi que les droites A'D et AE qui se coupent en O : démontrer que le quadrilatère BDOE est un parallélogramme, et chercher dans quel cas son aire est maximum.

929. Si MFM', NCN', sont deux cordes parallèles menées par le foyer et par le centre d’une ellipse, démontrer qu’on a

FM. FM' b2

CÂ.CiY “ a2 '

930. Si la tangente au sommet A de l’ellipse est coupée par deux diamètres conjugués en T et en U, on a

AT. AU = b2.

931. Si les tangentes en trois points P, Q, R, de l’ellipse se coupent deux à deux aux points R', Q' et P', on a

PR'.QP'.BQ' = PQ'.QR'.RP'.

932. Si des extrémités des axes d’une ellipse on tire dans une direction quelconque quatre droites parallèles, les points où elles rencontrent la courbe sont les extrémités de deux diamètres conjugués.

933. Si MFM' est une corde focale de l’ellipse etX le pied de la directrice correspondante, les droites XM et XM' sont également inclinées sur les axes de la courbe.

934. PM et PM' étant deux tangentes menées à l’ellipse par un même point P, et la corde MM' coupant les directrices en R et en R', on a

935. CD et CE étant deux demi-diamètres conjugués de l’ellipse, et CE rencontrant les rayons vecteurs FD et F'D en II et en IF, on a

Fil = F' H'.

936. Quel est le lieu des milieux des cordes focales d’une ellipse ?

937. M étant un point quelconque de l’ellipse ou de l’hyperbole, quels sont les lieux décrits par les centres des cercles inscrit et exinscrits au triangle FMF' ?

938. Si du foyer F de l’ellipse on abaisse des perpendiculaires sur les diamètres conjugués DD' et EE', ces perpendiculaires prolongées coupent EE' et DD' sur la directrice correspondant au foyer F.

939. M étant un point de l’ellipse de grand axe AA', quel est le lieu des points d’intersection des perpendiculaires élevées en A et en A' aux droites AM et A'M ?

940. Si MP et CP sont l’ordonnée et l’abscisse du point M d’un cercle de centre C rapporté à deux diamètres rectangulaires comme axes coordonnés, et si la droite PQ prise égale à MP est inclinée sur elle d’un angle constant, quel est le lieu du point Q ?

941. Soient un triangle PQR et une ellipse enveloppante ayant son centre C au point de rencontre des médianes du triangle; CP, CQ, CR, prolongées, rencontrent l’ellipse aux points P', Q', R' : démontrer que les tangentes en ces points forment un triangle semblable au triangle PQR et d’une aire quatre fois plus grande.

912. Une tangente mobile rencontre en M et N les tangentes fixes aux sommets A et B d’une ellipse; le lieu du point d’intersection des parallèles menées par M et N aux axes de l’ellipse est une hyperbole équilatère.

943. Quel est le lieu des points d’intersection des perpendiculaires abaissées des foyers d’une ellipse sur deux diamètres conjugués?

944. Construire une ellipse ou une hyperbole, connaissant : i° ses directrices et un point ; 2° ses directrices et une tangente; 3° une directrice, deux points et une tangente; 4° une directrice, un sommet et une tangente; 5° une directrice, deux tangentes et le point de contact de l’une d’elles; 6° une directrice et trois tangentes; 7 0 un foyer, la directrice correspondante et une tangente ; 8° un foyer ou une directrice et trois points.

945. Soient MP l’ordonnée d’un point de I hyperbole dont le centre est C et PQ une tangente au cercle principal; si l’on trace jusqu’à l’axe transverse MN parallèle à CQ, on a

PN = b.

CrÉOiM ÉTK1E DANS L’ESPACE.

946. Soient MP l’ordonnée d’un point M de l’ellipse ou de l’hyperbole, C le centre de la courbe, A l’un des sommets situés sur le grand axe ou l’axe transverse; menons PQ parallèle à AM jusqu’à la rencontre de CM: démontrer que AQ est parallèle à la tangente en M.

947. Si l’on mène deux tangentes quelconques à l’hyperbole, les droites déterminées par leurs points d’intersection avec les asymptotes sont parallèles.

9iS. Dans l’hyperbole équilatère, les diamètres conjugués sont égaux entre eux, et la portion de normale comprise entre le point de contact et l’axe transverse est égale à la distance du centre au point de contact.

949. Si l’on tire une droite par un sommet de l’hyperbole, son second point de rencontre avec la courbe divise en deux parties égales la portion de cette droite interceptée par les parallèles menées de l’autre sommet de l’hyperbole à ses asymptotes.

950. Les asymptotes de l’hyperbole divisenten parties égales les droites qui unissent les extrémités de deux diamètres conjugués.

951. CD et CE étant deux demi-diamètres conjugués de l’hyperbole, oh a

F'E — ED — a — b.

952. Dans l’hyperbole équilatère, les cordes focales parallèles à deux diamètres conjugués sont égales.

953. Le rayon du cercle cpii touche une hyperbole et ses asymptotes est égal à la portion de la corde focale principale prolongée comprise entre la combe et ses asymptotes.

954. MM' étant une corde de l’hyperbole et CP le demi-diamètre correspondant, si l’on tire par les points M, P, M', des parallèles Mil, PK, M'H', à l’une des asymptotes jusqu’à la rencontre de l’autre en H. K, il', on a

CH. Cil' — CK " .

955. Soient un cercle de diamètre AA' et une corde PQ perpendiculaire à AA' : trouver le lieu des points d’intersection des droites AP et A'Q.

956. Si deux hyperboles équilatères égales sont décrites de manière que les axes de l’une soit les asymptotes de l’autre, elles se coupent à angle droit,

957. Quel est le lieu des points qui sont au tiers des arcs de tous les segments de cercle qu’on peut décrire sur une droite donnée?

958. Si deux tangentes partant d’un môme point P coupent l’une des

asymptotes de l’hyperbole en R et en S, l’autre asymptote en r et en.?, on a

PR. PS — Pr.IG.

059. MM' étant la double ordonnée d’une ellipse de grand axe AA', quel est le lieu des points de rencontre des droites AM et A'M'?

960. Si la tangente au point M d’une hyperbole équilatère coupe ses asymptotes en L et en L', et si MG est la normale en M, l’angle LGL' est droit.

061. Soit la corde MM' d’une hyperbole rencontrant ses asymptotes en R et en R', et la tangente RN à la courbe; si les parallèles MH, NK, M'IT, à l’une des asymptotes, rencontrent l’autre asymptote aux points II, K, IL, on a

MH -t- M'II'= 2NK.

962. Si par les points M et M' d’une hyperbole on mène des droites parallèles aux asymptotes, on forme un parallélogramme dont MM' est une diagonale : démontrer que l’autre diagonale passe par le centre de la courbe.

963. Quel est le lieu décrit par le milieu d’une droite qui se meut en formant avec deux axes rectangulaires un triangle d’aire constante?

96 1. Si par le point M d’une hyperbole de centre G on mène des parallèles MD et ME à chaque asymptote, jusqu’à la rencontre de l’autre, et si l’on construit une ellipse ayant CD et CE pour demi-diamètres conjugués, CM coupant l’ellipse en N, les tangentes aux deux courbes en M et en N sont parallèles.

965. On fait passer un cercle par un point quelconque M d’une hyperbole et les extrémités A et A' de son axe transversc : trouver le lieu du point Q où l’ordonnée MP prolongée rencontre ce cercle.

966. On donne une série d’ellipses tangentes à une hyperbole équilatère et ayant leurs axes dirigés suivant ses asymptotes : démontrer que le produit des axes de ces ellipses est constant.

967. Sur deux diamètres conjugués d’une ellipse comme asymptotes, on construit deux hyperboles conjuguées l’une à l’autre : démontrer que, si l’une de ces hyperboles touche l’ellipse, il en est de même de l’autre, et que les diamètres tirés aux points de contact sont conjugués aussi bien dans l’ellipse que dans l’hyperbole.

968. Trouver l’angle des asymptotes de l’hyperbole obtenue en coupant un cône de révolution par un plan. — Cas où le plan sécant est parallèle à l’axe du cône.

GÉOMÉTRIE DANS L’ESPACE

969. Deux cônes de révolution qui ont môme sommet, même génératrice et leurs axes rectangulaires sont coupés par deux plans menés parallèlement à leurs axes d’un môme point delà génératrice commune, suivant des hyperboles conjuguées.

970. Quel est le lieu des foyers de toutes les sections paraboliques d’un cône de révolution donné ?

971. Quel est le lieu des foyers de toutes les sections elliptiques de même excentricité dans un cône de révolution donné?

972. Quel est le lieu des extrémités des petits axes de toutes les sections elliptiques parallèles d'un cône de révolution donné?

973. Dans quel cas un plan peut-il couper un cône de révolution donné suivant une hyperbole équilatère?

97 1. Construire une hyperbole, connaissant : i° un foyer ou une directrice, la longueur de l’axe transverse et une asymptote; i° un foyer ou une directrice, une tangente et une asymptote; 3° trois points et une asymptote.

975. Trouver le lieu des sommets des cônes de révolution qui passent par une ellipse ou une hyperbole donnée de position et de grandeur.

§ VII. — Propriétés fondamentales de l’hélice.

976. Par deux points d’une surface cylindrique, on peut faire passer une infinité d’hélices.

977. Quel est le plus court chemin entre deux points d’une surface cylindrique, mesuré sur cette surface elle-même?

978. Deux hélices tracées sur un cylindre de révolution se coupent orthogonalement; on donne le rayon du cylindre et le pas de l’une des hélices, trouver le pas de l’autre.

979. Des extrémités A et A' d’un diamètre de la section droite d’un cylindre de révolution partent deux hélices orthogonales dont le premier point d’intersection est en M: trouver, en fonction du pas h de la première hélice et du rayon R du cylindre, l’aire mixtiligne AMA\ — Que 1 doit être le pas h pour que l’aire AMA' soit maximum? Le rayon du cylindre étant un décimètre, évaluer à un millimètre carré près cette aire maximum.

980. Étant donnée une hélice tracée sur un cylindre de révolution, une droite glisse sur cette hélice et sur l’axe du cylindre en restant normale à cet axe ; quelle est la section de la surface ainsi engendrée : i° par

un cylindre concentrique au premier? 2.0 par un cylindre de révolution dont une arête est l’axe même du premier cylindre?

981. Étant donnée une hélice tracée sur un cylindre de révolution, une droite glisse sur cette hélice et sur l’axe du cylindre en faisant un angle constant avec cet axe: démontrer que la normale à la courbe tracée par cettedroite sur un plan perpendiculaire à l’axe du cylindre, intercepte une longueur constante sur la perpendiculaire élevée par le pied de l’axe dans le plan considéré au rayon vecteur issu du même point.