APPLICATION DES DÉTERMINANTS
mule (i), et l’on obtiendra pour le volume V du tétraèdre
1 x, jr, z,
1 li "’4
puis, en opérant sur ce déterminant comme nous l’avons fait sur le dé" terminant (î), et observant que
4= (*« — "+• (Ji— 7* )’ + ( zi
on trouvera
cl,
En égalant à zéro les déterminants (2) et (4), on obtient évidemment les conditions pour que trois points soient en ligne droite ou pour que quatre points soient dans un meme plan. Les formules (2) et (4 ), abstraction faite de la notation des déterminants, ont été données parEuler, dans les Mémoires de Pétcrsbourg.
3. Relation entre les distances mutuelles : i° de quatre points situés sur un meme cercle ; 20 de cinq points situés sur une meme sphère.
Soient (.r,, jr, ), (x2) /2), (o73,/3) , (.r4,j4), les coordonnées rectangulaires des quatre points A,, A2, A3, A4; eW/I2,<713 . ,é/23 , les carrés
de leurs distances mutuelles. Ces points étant sur un môme cercle, on a, d’après la Géométrie analytique,
x\ -h y\ -h a h- bxt -+- crt = o, x\ h- y \ -h a -+- bx2 -h cy2 — o, ^3 -+■ fl + a -+- bx3 4- cy3 = o, ^4 -+- J4 H- « h- éu:4 -+- cyx — o.
On a, par suite, en éliminant a , b, c ,
JÎ
= 0, ou
Ja
NOTE î.
Or. il suffît de multiplier ces deux derniers déterminants par la règle connue et d’égaler le résultat à zéro pour avoir la relation cherchée
Un calcul tout à fait analogue donne
du
du
di 5
dv
du
pour cinq points situés sur une même sphère.
La relation (5) revient au fond au théorème de Ptolémée (240); la relation (6) a été donnée sous une autre forme par Feuerbach. — Nous avons suivi la marche indiquée par M. Cayley dans le tome II du Journal de Cambridge.
En développant par rapport aux éléments de la première verticale le premier des déterminants considérés dans ce numéro, et désignant par 04 l’origine des coordonnées, qui est d’ailleurs un point quelconque du plan du quadrilatère A,A2A3A4, on a, eu égard à la formule (2), la relation
qu’on énonce de la manière suivante : Dans tout quadrilatère inscriptible, si on multiplie Caire du triangle formé par trois des sommets par le carré de la distance du quatrième sommet à un point quelconque du plan , la somme des produits relatifs aux deux triangles séparés par une diagonale est. égtde à la somme des produits relatifs aux deux triangles séparés par Vautre diagonale. Cette proposition, due à M. Luchterhandt [Journal de Crelle, t. XXIII), comprend comme cas particuliers les théorèmes (240, 2,42) relatifs au produit et au rapport des diagonales du quadrilatère inscriptible. Pour les en déduire, il suffit de remplacer l’aire de chaque triangle par le produit des trois côtés divisé par quatre fois le rayon du cercle circonscrit et de placer le point O,, dans le premier cas à l’un des sommets du quadrilatère, dans le second cas au centre du cercle.
En éliminant les parenthèses (A?A3AJ, . . . entre l’équation précédente et les trois analogues que fourniraient trois autres points 0a,03,04 pris
