HO' = 0'H' = H' O

Donc O' est à la rencontre des perpendiculaires élevées sur les faces du tétraèdre par les milieux des segments H1G1, II2G2, ...; par conséquent, la sphère O’ passe également par les points Ht, H2, .... Enfin, la droite G/, O' coupe A/JI en un point L jc appartenant à la sphère O' et tel, que L*H = H'G* = JA*H.

Remarque. — Les points H, II' sont des points inverses par rapport au tétraèdre AiA2A3A4. Les droites Ai IL, A2II', A3IL, A4H' sont perpendiculaires aux faces de tétraèdre HiH2H3H4.

26. Un tétraèdre orthocentrique Ai A2 A 3 A 4 est autopolaire par rapport à une sphère ayant pour centre V orthocentre du tétraèdre.

Car, H étant l’orthocentre des triangles AiA2M, . . ., on a

HAj.HHi = HA2.HH2 = HA3.I1H3 - HA4.HH4; donc chaque sommet est le pôle de la face opposée par rapport à la sphère décrite du centre H avec le rayon v/HAi.HHi. Toutefois, pour que cette sphère soit réelle, II doit tomber à l’extérieur du tétraèdre,

(*) Comparer ce qui précède avec les Exercices 639, 640, 641, 1029, 1025 (p. 520, 5ai, 55g).

GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE. 6 I 5

ce qui exige que l’un des angles solides du tétraèdre soit composé de trois angles plans obtus.

Remarque.

Les sphères circonscrites aux tétraèdres AiA2A3A4 et H1H2H3H4, la première sphère de douze points de AiA2A3A4 et la sphère conjuguée ont pour plan radical commun le plan d’homologie des tétraèdres Ax A2A3 A4, Hj H2H3 H4.

27. Les points A1; A2, A3, A4, li sont les sommets d’un pentagone orthocentrique: la droite qui joint deux quelconques de ces points est perpendiculaire au plan passant par les trois autres points ; chacun de ces points est l’orthocentre du tétraèdre ayant pour sommets les quatre autres points.

Pour construire un tétraèdre orthocentrique, on peut prendre arbitrairement les sommets Ai, A2, A3: le quatrième sommet A4 est un point quelconque de la perpendiculaire menée sur le plan du triangle AtA2A3 par son orthocentre. On peut également se donner à volonté un trièdre A4AiA2A3; les plans menés par les arêtes du trièdre perpendiculairement sur les faces opposées ( plans -hauteur s ), se coupent suivant une même droite A4X, et un plan perpendiculaire à A4X forme avec le trièdre donné un tétraèdre orthocentrique.

Les arêtes d’un trièdre et l’intersection de ses plans-hauteurs constituent un quadrarëte orthique : chacune de ces droites est l’intersection des plans-hauteurs du trièdre ayant pour arêtes les trois autres. Un plan perpendiculaire à l’une des droites coupe les quatre lignes aux sommets d’un quaclrangle orthique, c’est-à-dire en quatre points dont chacun est l’orthocentre du triangle des trois autres sommets.

Les hauteurs d’un tétraèdre orthocentrique forment un quadrarëte orthique.

28. On sait que toute conique passant par les sommets d’un triangle et par son orthocentre est une hyperbole équilatère. (. Exercice 1067, p. 563.)

Un cône du second ordre, circonscrit à un quadrarëte orthique S A Ai A2 A3 jouit également de propriétés particulières : il est capable d’une infinité de trièdres trirectangles, et d’une infinité de quadrarêtes ort /tiques.

En effet, un plan a perpendiculaire à la droite SA coupe le cône suivant une conique K, et les droites SA, SAi, SA2, SA3 en des points que nous indiquons par A, Ai, A2, A3. Comme A est l’orthocentre du triangle AiA2A3, K est une hyperbole équilatère.

Prenons sur K un point quelconque Bi, et menons par S un plan perpendiculaire à la droite SBj ; si B2, B3 sont les points de rencontre de ce plan avec K, A est l’orthoeentre du triangle BiB2B3j car ce triangle est inscrit à l’hyperbole équilatère et la droite BiA est perpendiculaire à B2B3. Soient Ci, C2, C3 les points où les droites Bj A, B2A, B3 A

NOTE III

GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE

coupent Bo B3, B3 Bi, Bi B2. On a ABi . ACi = AB2 . AC2 = AB3 . AC3 et, comme

SA” = — ABi .ACi, on a aussi SA = — AB2.AC2 = — AB3.AC3, d’où l’on conclut que les angles B2SC2, B3SC3 sont droits et que le trièdreSBiB2B3 est trirectangle.

Réciproquement, tout cône du second ordre circonscrit à un trièdre trirectangle SBiB2B3 jouit de la propriété que les plans-hauteurs de tout trièdre inscrit SAAiA2 se coupent sur le cône. Car, si un plan a perpendiculaire à SA coupe les arêtes des deux trièdres en Bj, B2, B3, A, Ai, A 2 et le cône suivant la conique K, le point A est, d’après un théorème connu, l’orthocentre du triangle BiB2B3; il en résulte que K est une hyperbole équilatère. Soit A3 le point où la perpendiculaire menée de A sur AiA2 coupe l’hyperbole; A est l’orthocentre du triangle AiA2A3 et, par suite, SA est l’intersection des plans-hauteurs du trièdre SAiA2A3, et SA3 celle des plans-hauteurs du trièdre SAAiA2.

Le cône que nous venons de rencontrer est dit cône équilatère ; comme une génératrice quelconque SB! est une arête d’un trièdre trirectangle inscrit SBiB2B3, un plan perpendiculaire à SBj coupe le cône suivant une hyperbole équilatère dont les asymptotes sont parallèles à SB2, SB3.

29. Les hauteurs cl’un tétraèdre quelconque Ai A2 A3 A-f sont des génératrices d’un hyperboloïde équilatère, dont le centre oo est symétrique du centre O de la sphère circonscrite par rapport au centre de gravite' G.

Soient Ai Hi, . . . , les hauteurs du tétraèdre Ai A2 A3A4, et Ai, . . . , les orthocentres des faces. Les plans IRA1A4, H2A2A4, H3A3A4 sont perpendiculaires au plan AiA2A3, car ils contiennent, chacun, deux perpendiculaires à un même côté de triangle AiA2A3. Il résulte de là que la perpendiculaire hwx menée par hk sur le plan AiA2A3 rencontre les quatre hauteurs du tétraèdre. On peut de même trouver trois autres droites s’appuyant sur AjlR, A2H2, A3ÏI3, A4H4. Les hauteurs sont donc des génératrices d’un même hyperboloïde.

Cette surface est coupée par le plan AiA2A3 suivant une hyperbole équilatère K, car les points Ai, A2, A3, A4 appartiennent à la courbe d’intersection. Or, trois génératrices du cône asymptote sont parallèles aux asymptotes de l’hyperbole K et à Ai IR; ce cône est donc équilatère.

Le centre u> de l’hyperboloïde est équidistant des génératrices parallèles A4H4, h^x. Celles-ci étant contenues dans les plans menés par les points A 4, Ai perpendiculairement à A2A3, w est situé dans le plan mené par le milieu de A4Ai perpendiculairement à A2A3, plan qui est symétrique, par rapport à G, du plan perpendiculaire au milieu de A2 A3. On en conclut que w et O sont symétriques par rapport à G.