CL
al.
Soient xu x2, x 3 , ^4 les coordonnées normales d’un point quelconque P de la hauteur A4H4; on a
d’où
^i = A4Pcosa1, x2 = A4Pcosa2, x3 — A4P cosa3,
cosai cosa2 cosa3
De même, pour les coordonnées de tout point de A3II3,
Xj
cos a5 cos a4
xu
cosa3
GÉOMÉTRIE DU TÉTRAÈDRE. ’ 6l3
Si les hauteurs A ^ II4, A3II3 ont un point commun H', on a, nécessairement,
cos ai cosa4 = cosa2 cos a5.
23. Supposons maintenant (fig. 7) que les trois hauteurs Ai Hl5 A2H2, A3H3 concourent en un même point H. Alors, d’après ce qui prô-
Fig. 7.
cède, les arêtes opposées AiA2 et A3A4, A2A3 et A4Ai, A3Ai et A4A2 sont perpendiculaires, et
a\-±a\ = a\^a\ = a\ -haj, cos ai cos a4 = cos a2 cos as = cos a3 cos a6 ;
de plus, la hauteur A4II4 passe également par H. Les plus courtes distances des arêtes opposées se coupent également en H; les pieds de ces droites sont les pieds des hauteurs des faces du tétraèdre, et les points IIi, H2, H3î II4 sont les orthocentres des faces.
Le tétraèdre particulier que nous venons de rencontrer a été appelé tétraèdre ortfiocentrique.
24. Dans tout tétraèdre orthocenlriqqc AiA2A3A4, les milieux des
NOTE III
arêtes et les pieds des plus courtes distances des arêtes opposées sont douze points d’une même sphère, ayant pour centre le centre de gravité G du tétraèdre (première sphère de douze points).
Car, les milieux de deux couples d’arêtes opposées étant les sommets d’un rectangle, les trois médianes du tétraèdre sont égales, et G est le centre d’une sphère passant par les milieux des six arêtes. Cette sphère passe, évidemment, par les circonférences des neuf points des faces du tétraèdre; donc elle contient les pieds des hauteurs de ces faces, et son centre est au milieu de la distance comprise entre l’orthocentre II du tétraèdre et le centre O de la sphère circonscrite (1).
25. Dans tout tétraèdre orthocentrique A1A2A3A4, les centres de gravité des faces, leurs orthocentres et les points qui divisent dans le rapport 2 ; 1 les segments des hauteurs du tétraèdre compris entre les sommets et leur point de concours II, sont douze points d’une même sphère, dont le centre O' divise la distance HO dans le rapport 1 : 2 (seconde sphère de douze points).
En effet, les centres de gravité G1} G2, G3, G4 des faces du tétraèdre sont les sommets d’un tétraèdre homothétique à A!A2A3A4 par rapport à G; les hauteurs de ce nouveau tétraèdre concourent donc en un même point IL de la droite IIG, et l’on a HG = 3 GIE; le centre O’ de la sphère GfiG2G3G4 divise la distance HO dans le rapport 3 ; 1. Comme on a Hi Gi == 3GiOi et, par suite, HH'= 3H'0, on voit aisément que
