LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE. IO

Corollaires.

176. Quand une figure de forme et de grandeur invariables se déplace dans son plan d’un mouvement continu, chaque point décrit une trajectoire ; soient ABC . . . une position quelconque de la figure, A' B' C' . . . une position voisine; si la seconde figure tend vers la première, les cordes AA', BB', CC', ... deviennent les tangentes en A, B, C, ..., aux trajectoires de ces points, et les perpendiculaires élevées sur les milieux des cordes deviennent les normales aux trajectoires; comme ces perpendiculaires passent par un même point O dont la situation dépend à la fois des deux positions successives ABC. . ., A'B'C'. . . de la figure, à la limite, ces perpendiculaires, c’est-à-dire les normales, passeront par un même point to dont la situation ne dépend plus que de la position ABC. . . delà figure considérée. Donc, quand une figure se déplace clans son plan, les normales aux trajectoires des divers points, pour une position déterminée quelconque de la figure, passent par un meme point 10 ; ce point to a reçu le nom de centre instantané de rotation relatif à la position considérée de la figure.

Si l’on sait mener les normales aux trajectoires de deux points de la figure mobile, on aura par l’intersection de ces droites le point to, et il suffira de joindre to à tout autre point de la figure pour avoir la normale et, par suite, la tangente à la trajectoire de ce point.

177. Considérons, en particulier, le déplacement d’une droite AB (fig. 1 33). Soient to le centre instantané relatif à la position AB, et P la projection de to sur la droite AB, c’est-à-dire le pied de la perpendiculaire abaissée de to sur AB. Quand AB se déplace, le point P, considéré comme invariablement lié à la portion de droite AB, décrit une trajectoire qui, d’après le numéro précédent, a pour normale Ptoet, par suite, pour tangente en P la droite PAB. Donc, quand une droite se déplace dans un plan suivant une loi déterminée quelconque, elle reste constamment tangente à une ligne qu’on nomme son enveloppe ; et, pour une position quelconque de la droite, le point ou elle touche son enveloppe est la projection sur cette droite du centre instantané de rotation correspondant.

Ce point de contact est aussi la limite du point 1 où la droite AB est rencontrée par sa position infiniment voisine A' B'. En effet, soient O le point autour duquel il faut faire tourner AB pour amener A en A' et B en B', Q et Q' les projections de O sur AB et A' B’. Le point I est l’intersection des tangentes AB, A' B' au cercle décrit du point O comme centre avec OQ = OQ' pour rayon; la distance QI, moindre que QQ', tend donc vers zéro quand A’ B' tend vers AB; donc le point 1 a la même

GÉOMÉTRIE PLANE

limite que le point Q, c’est-à-dire a pour limite la projection P sur AB du centre instantané to relatif à AB.

THÉORÈME II

178. Lorsque deux polygones égaux et de sens opposés ABC..., A'B'C'. . . sont situés dans un même plan , on peut amener le premier sur le second au moyen du retournement du plan autour d’un certain axe et d’une translation rectiligne parallèle a cet axe ( fi g . 1 34 ).

En effet, achevons le parallélogramme AA'B'B2 dont AA' et A' B' sont deux côtés consécutifs; puis, par le milieu I de AA', menons la parallèle L à la bissectrice AE de l’angle B2AB. Le polygone Ai Bt Ci - . ., symétrique de ABC. . . par rapport à L, étant égal à A'B'C'. . . et de môme sens, il suffit de prouver que la figure A'B'BiAi est un parallélogramme, et que AAi est parallèle à L; car, alors, en repliant le plan autour de L, on amènera ABC... sur AiBiCi...; puis une translation rectiligne égale et parallèle à Ai A' et, par conséquent, parallèle à L amènera Ai sur A', Bi sur B' et, par suite (174), A1B1C1 . . . sur A'B'C'. . . .

Or AiBi et AB2, étant les symétriques d’une même droite AB par rapport à deux axes parallèles L et AE, sont égales, parallèles et de môme sens; d’ailleurs A'B' et AB2 sont aussi égales, parallèles et de même sens; il en est donc de môme pour AiBi et A'B', de sorte que la figure A'B'BiAi est bien un parallélogramme. D’autre part, a étant le milieu de AAi, c’est-à-dire le point de rencontre des deux droites rectangulaires AAi et L, et a' étant la projection de A' sur L, les triangles rectangles Ala, ATa' sont égaux comme ayant l’hypoténuse égale et les angles égaux; il en résulte A'a' = Aa = aAt, de sorte que la figure Ai A' a' a est un rectangle, ce qui prouve que Ai A' est parallèle à L.

La droite L est également inclinée sur deux côtés homologues quelconques des deux polygones, et elle contient les milieux des droites qui joignent les sommets homologues. >