LIVRE 11. — LA CIRCONFÉRENCE 1)E CERCLE. Io

une figure rectiligne à laquelle on donne, par extension, le nom de polygone ; ainsi quand nous dirons le polygone ABCDE, il faudra entendre la figure rectiligne obtenue en joignant par des lignes droites le premier point A au second point B, le second point B au troisième C, .. ., et enfin le dernier point E au premier A.

Considérons, dans un plan, deux systèmes de points A et A', B et B', C et C', . . . , qui se correspondent un à un d’après une loi géométrique d’ailleurs quelconque. Soient AB. . .PQR. . un polygone formé avec les points du premier système, et A'B'. . .P'Q'R'. . . , le polygone formé avec les points correspondants ou homologues du second système. Supposons enfin que deux observateurs parcourent simultanément, l’un le chemin bien déterminé AB... PQR..., l’autre le chemin correspondant A'B'. . .P'Q'R. .. . Nous dirons que les deux polygones AB... PQR..., A'B'. . .P'Q'R'. . . sont de même sens ou de sens opposés suivant que deux sommets homologues quelconques R et R' sont vus de la môme manière (c’est-à-dire tous deux à droite ou tous deux à gauche), ou de manières différentes (c’est-à-dire l’un à droite, l’autre à gauche) par les observateurs parcourant les deux côtés homologues PQ, P'Q' qui précèdent immédiatement R et R'.

Nous désignons, en général, deux sommets homologues de deux polygones correspondants par une même lettre, en accentuant celle qui est relative au second polygone; toutefois cette notation n’est pas toujours possible, quand les deux figures ont des points communs, à moins de mettre deux lettres à un même point, ce qui serait une complication inutile. On évite toute ambiguïté en convenant d’attribuer, dans les symboles ABC. . ., MNS. . . qui désignent deux polygones correspondants, le même rang aux deux lettres qui répondent à deux points homologues; ainsi, A est l’homologue de M, B l’homologue de N, etc.

Deux polygones correspondants ABC. . ., A'B'C'. . . sont dits égaux lorsqu’on peut les superposer soit directement, soit par retournement, de manière que chaque sommet vienne sur son homologue. Dès que le mode de correspondance des sommets est fixé, il est clair que la superposition n’est possible que d'une seule manière.

174. Deux j>olygones égaux et de même sens ABC. . . , A'B'C'. . . coïncident dès qu’ils ont deux couples A et A', B et B' de sommets consécutifs communs.

En effet, dès que A est en A' et B en B', BC prend la direction B'C', puisque BC et B'C' sont du même côté par rapport à AB et font des angles égaux avec cette droite; d’ailleurs, B'C' = BC; doncC' tombe en C, et l’on verrait de même que D' tombe en D, et ainsi de suite.

Si les polygones étaient de sens opposés, ils seraient symétriques par rapport au côté commun AB; car si l’on imagine le polygone ABCt D^ . .

GÉOMÉTRIE PLANE

ioG

symétrique de ABCD. . . par rapport à AB, ce nouveau polygone sera de même sens que A'B'C'D'. . ., lui sera égal et aura avec lui deux points homologues communs A et A', B et B'; donc il coïncidera avec lui, d’après la proposition précédente.

THÉORÈME I

J 75. Lorsque deux polygones égaux et de même sens ABC . . . , ABC' . . . sont situés dans un même plan, on peut amener le premier sur le second par une rotation autour d’un point du plan (fi g. i32).

Il suffît, d’après le n° 174, de montrer qu’on peut, par une rotation, amener A sur A' et B sur B'.

Or construisons sur A' B' un triangle A' B' A" égal à ABA' et de même sens, et soit O le centre du cercle qui passe par les trois points A, A', A". Les triangles OAA', OA'A" sont égaux comme ayant les trois côtés égaux ; ils sont, en outre, de même sens, car deux cordes égales et consécutives AA', A' A" d’un cercle comprennent le diamètre A' O qui aboutit à leur point commun. Donc, si, par une rotation autour de O, on amène OA sur OA', le triangle OAA' coïncidera (174) avec OA'A"; et, par suite, le triangle ABA' coïncidera avec A'B'A".

Fig. i3 2.

Il importe de remarquer que le centre de rotation O doit être équidistant de deux points homologues quelconques ; il est donc le point de concours des perpendiculaires élevées sur les milieux des droites qui joignent deux points homologues quelconques.

Enfin le raisonnement et la conclusion supposent que les points A, A', A" ne soient pas en ligne droite, c’est-à-dire, d’après la construction du point A", que AB et A' B' ne soient pas parallèles et de même sens; s’il en était ainsi, la figure AA'BB' serait un parallélogramme, AA' et BB' seraient donc égales, parallèles et de même sens, et alors, pour amener A sur A' et B sur B' et, par suite, la première figure sur la seconde, il suffirait d’opérer sur la première figure une translation, c’est-à-dire de faire décrire à chaque sommet une droite égale et parallèle à AA'.