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Cela posé, il faut distinguer plusieurs cas :

Supposons d'abord les points D et E situés sur les côtés euxmêmes, c’est-à-dire l’un D entre A et B, et l’autre E entre A et C {fig. 1 38 ) ; et concevons par le point D une parallèle à BC Cette parallèle déterminera (181) entre A et C un point dont

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les distances à A et C formeront un rapport égal à — • Or, entre A et C ( 170 ), il n’existe qu’un seul point dont le rapport des distancés à A et C soit égal à — et ce point est par hypothèse le point E. Donc la parallèle à BC, menée par le point D, passe par E et coïncide avec DE. Donc enfin DE est parallèle à BC.

Supposons, en second lieu, les points D et E situés sur les prolongements des côtés. Si D est, par exemple, au-dessous

de AB ( fig . 139 ), le rapport sera supérieur à i ; il en sera

donc de même de son égal et, par suite, le point E sera

pareillement au-dessous de AC. Dès lors la démonstration s’achèvera comme ci-dessus.

On verrait de même que si D était au-dessus de BA ( fig . iqo ), la proportion (i) exigerait que E fût au-dessus de CA; puis, on achèverait la démonstration comme dans le premier cas.

Celte réciproque demande une certaine attention; l’hypothèse renferme en réalité deux parties : la première consiste dans l’existence de la proportion (i), et l’autre est relative à la situation des points D et E qui doivent être placés de la même manière sur les côtés AB et AC. Bien que sous-entendue d’ordinaire pour plus de brièveté, cette seconde partie est indispensable; car si l’un des points D était, par exemple, sur le côté lui-même et l’autre E sur l’un des prolongements, la droite DE ne saurait être parallèle à BC, bien que la proportion ( i) fût satisfaite.

U. et de C. — Tr. de Gcom. (1° Partie).

GË0MÊTR1K PLANE.

THÉORÈME

18i. Dans tout triangle ABC (fig> i4 1 ) :

i° La bissectrice AD d’un angle quelconque BAC divise le côté opposé BC en deux segments additifs DB et DC proportionnels aux côtés adjacents ;

2° La bissectrice AD' d’un angle extérieur BAE divise le côté opposé BC en deux segments soustractifs D'B, D 'C, proportionnels aux côtés adjacents.

Firr. l4l.

En effet :

i° En menant BE parallèle à la bissectrice AD, on a dans le triangle BEC ( 182 )