DC — D'C

ils sont donc (180) conjugués harmoniques par rapport «à la droite BC. Ainsi, les deux côtés d’un angle, la bissectrice de cet angle et celle de son supplément , déterminant quatre points sur une sécante quelconque , les deux derniers sont conjugués par rapport aux deux autres.

THÉORÈME

187. Le lieu géométrique des points dont les distances à deux points fixes sont dans un rapport donné est une circonjérence ( Jig . i4^)-

GÉOMÉTRIE PLANE

Soient B et C les deux points fixes, — le rapport donné et M un point quelconque du lieu, c’est-à-dire un point tel qu’on ait

MB m M C ~ '

11 existe d’abord, sur la droite indéfinie BC, deux points du

Fig. 142.

lieu, c’est-à-dire (179) deux points D et B' qui satisfont aux relations

J) B m T) 'B m DG = n’ D7 C = n ’

on déduit de là

PB MB IV B MB

De fflü 13 1 iPT: ~ m t: '

Ces proportions prouvent (185), la première que Ml) est la bissectrice de l’angle BMC, et la seconde que MD' est la bissectrice de l’angle adjacent supplémentaire. Or, les bissectrices de deux angles adjacents et supplémentaires sont rectangulaires. Donc, le point variable M est le sommet d’un angle droit DMD' dont les deux côtés passent constamment par deux points fixes D et D'; tout point M du lieu est donc situé sur la circonférence décrite sur 1)D' comme diamètre.

Béciproquement, tout point M de cette circonférence DD' appartient au lieu.

En effet, B' étant le symétrique de B par rapport à la droite DM, désignons provisoirement par D le point où CB' rencontre DM ; DP sera la bissectrice de l’angle B PC, et l’on aura

PB DB m

PC ~ DC ~ n *