AB. AD = AG. AE

GÉOMÉTRIE PLANE

En effet, prenons AD' = AD cl AE' = AE, et menons D'E . L’égalité des triangles ADE, AD'E', qui ont un angle commun compris entre deux côtés égaux, entraîne celle des angles ADE, A'1)'E'. D’ailleurs, les angles ADE, A CB, sont égaux par hypothèse (189); donc les angles correspondants ADE', A CB, sont égaux, et les droites BC, D E' sont parallèles (05); on a donc (182) la proportion

AB AC AE' — AD' ’

qui, lorsqu’on remplace les quantités AE' et AD' par les quanti tés égales AE et AD, devient

AB AC AE ~ AD

ou AB. AD — AC. AE.

191 . Réciproquement, si deux droites DE et BC, tracées entre tes côtés cVun angle BAC, sont telles , que le produit des distances du sommet aux deux points où elles coupent chacun des côtés soit constant, c’est-à-dire sont telles, qu’ont ait

A B . AD = AC . AE ou

AB AC AE À D ’

ces droites sont anti-parallèles par rapport à cet angle.

En effet, concevons ( fig 1 43 ) la droite qui, menée par le point E, serait anti-parallèle à BC par rapport à l’angle BAC; cette droite coupe le côté AB en un point (190) dont, la distance au sommet A sera une quatrième proportionnelle à AB, AE, AC. Or, la distance AD est précisément, en vertu de l’égalité (i), cette quatrième proportionnelle; donc la droite DE est anti-parallèle à BC.

Corollaire.