J I. - DES ANGLES

vSFiniTions.

6. La considération de deux droites AB et AC qui se rencontrent {Jig. 3) conduit è «ne idée nouvelle, qui est celle A.' incHaaiion mutuelle ou A'angU, et qui, comme l'idée de longueur, nesauraltëtredéflnie,c'e8l-à-direramenéeàuneidée pi us simple; ce qu'on définit, c'est l'égalité et Vaddiiion desangles.

Les deux droites AB et AG sont les cûlés de l'angle, et leur point d'Intersection A est son sommet. On désigne un angle isolé par la lettre du sommet. Lorsque plusieurs angles ont même sommet, on indique celui des angles qu'on considère au moyen de trois lettres, savoir : deux lettres placées sur les côtés et la lettre du sommet qu'on énonce au milieu. Ainsi, dans la^g. 3, on dit simplement l'angle A ; dans ia^g. 4> o» distingue les troisangles BAC, CAD, BAD.

Deux angles, tels que BAC et CAD, qui ont le même sommet A, un c6té commun AG, et les deux autres c6tés AB et AD

s fiSOIËTllB PLtnE.

itués de part et d'autre du côté commun, soniappelés adjacents.

9. On dit que deux angles sont ^gau^ lorsqu'on peut les orter l'un sur l'autre, de manière qu'ils coïnoideni. Ainsi, orsqu'on aura placé le côté A' B' sur AB, de façon que le soninel A' soil en A et que le cdté A'C tombe comme AC aulessus de AB {fig. 5), il faudra, pour que les angles A et A' ioient égaux, que le côté A' C s'applique sur AC.

Fie- 5.

Pour ajouter deux angles BAC, FEG, on transporte l'un d'eux ï la suite de l'autre [Jig- 6), de manière à former les deux angles adjacents BAC, CAD; l'angle BAD des deux cAtés non communs AB et AD est la somme des deux angles proposés; cette somme est indépendante de l'ordre des parties.

10. D'après ces définitions, la grandeur d'un angle est indépendante de la longueur de ses côtés.

Si l'on suppose que l'un des cMée AC, d'abord appliqué sur l'autre AB, tourne autour du point A, comme une branche de compas autour de sa charnîèrei le côté mobile AC fait avec le cAté flxe AB un angle qui croit d'une manière continue.

11. On dit qu'une droite AO est perpendiculaire sur une droite BC(^^. 7], lorsque les deux angles adjacents AOB, AOC,

UTBI I. — Lk LIGHB DBOITB. ^

qu'elle Torme avec celle-ci « soni égaux, SI la droiie AO est telle {/ig. 8], que les angles adjacenls AOB, AOC, soient inégaux, on dit que cette droite est oblique sur BC.

Le point 0 est le pied de la perpendiculaire ou de l'oblique AO.

On appelle an^e droit tout angle AOB(^g'. 9) dont un côlé est perpendiculaire sur l'autre.

12. Deux angies soai dils opposés par le sommet lorsque les côtés de l'un sont les prolongements des côtés de l'autre. D'après cela, deux droites indéfinies 80' et CC IJîg. 10) forment, en se coupant au point A, quatre angles BAC, et B'AC, CAB' et BAC, qui sont deux à deux opposés par le sommet.

13. Par un point \, pris sur une droite ne, on peut toujours élever une perpendiculaire AB sur cette droite, et l 'on ne peut en élever qu'une [fig- 1 1 ).

En efTet, supposons qu'une droite AE, d'abord appliquée sur AC, tourne autour du point A dans le sens de la flèche. L'angle EAC, nul au début, croîtra constamment, tandis que

GtOMtTRIB PLAnt.

e adjacent EAD diminuera sans cesse et finira par s'annuirsque la droite AE viendra s'appliquer sur AD. Donc B EAC, d'abord Inférieur à l'angle EAD, différera de moins oins de cet angle, lui deviendra épi, puis le surpassera is en plus. D'après cela, parmi les positions successives ]roite AE, il y en aura une, et une seule AB, pour laquelle igles adjacents BAC el BAD seront égaux, c'est-à-dire pour lie cette droite sera perpendiculaire sur DC. Fin. ri. ric- lî.

.OBOLLAIBK.

Toui les angles droits sont égaux, eni{JÎ5'.ia) les deux angles BAC, B'A'C, qui ont étéforle premier en élevant la perpendiculaire AB sur AC, le id en élevant la perpendiculaire A'B' sur A'C; ces deux s sont droits, et il Taul démontrer qu'ils sont égaux. Transns à cet elTet la deuxième figure sur la première, de fa- |ue le point A' tombe en A et que le côté A'C s'applique C; le côté A'B' deviendra alors perpendiculaire sur AC int A : il s'appliquera donc sur AB, puisque par le point A s peut élever sur AC qu'une seule perpendiculaire. Donc îux angles BAC, B'A'C coïncideront, c'est-à-dire (9) seégaux.

L'angle droit est donc un type Invariable auquel on peur

irter les autres angles.

dit qu'un angle est aigu ou obtus suivant qu'il esl plus ou plus grand que l'angle droit. Ainsi, dans la fig. ii ,

e EAC est aigu et l'angle EAD est obtus.

ux angles sont dils complémentaires lorsque leur somme

cale à un angle droit. Ainsi, iaasla Jig. n , chacun des

LITRE I. — LÀ LIGNB DROITE. g

angles BAE, EAC est le complément de l'autre. Deux angles qut ont des compléments égaux sont égaux.

Deux angles sont dits supplémentairei lorsque leur somme est égale à deux angles droits. Deux angles qui ont des suppléments égaux sont égaux.

THÉORÈME

16. Deux angles adjacents ACD, BCD sont supplémentaires si leurs côtés extérieurs AC et CB sont en ligne droite

[fie. .3).

En effet, si CD est perpendiculaire sur AB, le théorème est évident, puisque les angles adjacents ACD, BCD sont droits tous les deux.

Si CD est oblique sur AB, les deux angles ACD, BCD sont inégaux; soil ACD le plus grand. La perpendiculaire CE, élevée au point C sur AB, tombera dans l'intérieur de cet angle et le décomposera en deux autres ACE et ECD. On aura donc

ACD -h BCD = ACE + ECD -+- BCD.

Or l'angle ACE est droit, et la somme ECD + BCD est égale à l'angle droit BCE. Donc enfin

ACD -1- BCD = a angles droits.

17. Il résulte de ce théorème que, pour avoir le supplément BCD d'un angle ACD, il suffit de prolonger l'un des cdiés AC au delà du sommet.

18. RftciPHOQUEiiEMT, SI deux angles adjacents ACD, BCD sont supplémentaires, leurs côtés extérieurs AC et BC sont en ligne droite.

Car le prolongement de AC doit former avec CD (17) un

MTBB I. — LA LIONI DROITE. Il

Le premier AOE a pour suppléaieot l'angle AOD formé par le côlé AO ei le prolongemeni OD du c6lé OE. Le second BOD n aussi pour supplément l'angle AOD, qui peut être considéré comme Tormé par le cAté OD et le prolongement OA du côté BO. Les deux anglesAOE,D0B, ayant même supplément AOD, ^oni égaux entre eux.

C0B0LL*IBES.

22. Lorsque l'un de$ quatre angles formés par la rencontre de deux droites indéfinies AB et CD est droit, tes trois autres sont aussi droits {Jîg. t-j); car, de ce que l'angle AOC, par exemple, est droit, il résulte que son opposé DOB doit l'être, ainsi que chacun de ses suppléments AOD etCOB.

On voit par là que ;

Lorsqu'une droite AO est perpendiculaire sur une autre droite CD, son prolongement OB est aussi perpendiculaire sur la même droite:

Si une droite AB est perpendiculaire sur une autre CD, la seconde est à son tour perpendiculaire sur ta première.

23. On nomme bissectrice d'un angle la droite qui menée par le sommet divise cet angle en deux parties égales.

Par un raisonnemeni identique à celui du n° 13, on voit que tout angle AOD Ifig. i8) a une bissectrice OF, mais une seule.

Les Itissectrices OE, OF de deux angles adjacents et supplémentaires AOC, AOD sont perpendiculaires l'une à l'autre,- car la somme des deux angles AOC, AOD élant égale à deux angles droits, celle des angles AOE, AOF, qui sont respectivement moitié des premiers, est égale à un angle droit.

Les bissectricesOF et OF' de deux angles opposés par le sommet AOD et BOC sont dans le prolongement l'une de l'autre [fig. i8); car chacune d'elles doit cire perpendiculaire au point 0 sur la bissectrice OE de l'angle AOC qui est adjacent et supplémentaire par rapporta chacun des angles considérés AOD et BOC.

Il résulte de là que les bissectrice* des quatre angles déterminés par ta rencontre de deux droites AB et CDformentdeux droites indéfinies EE' et FF', à angle droit l'une sur l'autre.

. — LA LIGKE SROtTB.

g II. — DES TRIANGLES.

DfiFmiTiona*

26. On donne le nom de polygone à une portion de plan AliCDEF terminée de toutes paris par des lignes droites [Jig. ao). Les portions de droites AB, BC, CD, DE, EF, FA sont les côtés du polygone ; l'ensemble de ces côtés forme le contour et leur somme reçoit le nom de périmètre du polygone. Le plan est ainsi divisé en deux régions, l'une enfermée par le contour et qu'on nomme région intérieure, l'autre illimitée et qu'on nomme extérieure. Le polygone a pour sommet* les points A, B, C, D, E, F communs à deux côtés consécutifs quelconques, et pour angtet les angles ABC, BCD, CDE, DEF, .... formés intérieurement par deux côtés consécutifs quelconques. Enfin, toute droite qui, comme AC ou BE, joint deux sommets non consécutifs du polygone est une diagonale.

rig. lo.

Fi([. ;

Le contour du polygone est une ligne brisée fermée et telle ((lie deux côtés quelconques non consécutifs ne se coupent pas; ainsi la ligne brisée ABEDCA, dont les côtés non consécutifs BE etCA se coupent, ne forme pas le contour d'un polygone.

Une ligne brisée est dite convexe lorsqu'elle tombe tout entière d'un mâme côté de chacune des droites qui la composent, prolongées iadéliniment. Un polygone est dit convexe lorsque son contour est convexe; tel est, par exemple, le polygone ABCDEF {fg. ia). Le polygone ABCDE. au con-

i4 GËOMSTRn PLAire.

traire [Jig. ai), n'est pas convexe; car le côté DE, prolongé indéfiniment, laisse le polygone en partie au-dessus et en partie au-dessous de lui.

Une droîtf! quelconque, tracée dans le plan d'une ligne brisée convexe, ne peut la rencontrer en plus de deux points ; car si une droite \Y \Jig. ai) rencontrait la ligne brisée AEDC en trois points Q, B, S, les poinu Q et S se trouvant de part et d'autre du côté DE, la ligne AEDC ne serait pas tout entière d'un même côté par rapport à DE prolongé, c'esi-à-dire qu'elle ne serait pas convexe.

27. Le plus simple de tous les pol^rgones est le ^n(TRg/«, qui n'a que trois côtés. Après lui viennent : le quadrilatère, qui a quatre côtés; le pentagone, qui a cinq côtés; Vhexagone, qui a six côtés,.-.; Voclogone, qui a huit côtés,...; \edécagone, quia dix côtés,...; le /»e/iW(/rfc<7go/n?, qui a quinze côtés. La jig. 54 représente un lie'^agone.

Parmi les triangles, on distingue le triangle isocèle, le triangle équilaléral et le triangle rectangle.

Fig. îi. Fin. sï- Fie- '5-

Vn triangle est isocèle quand II a deux côtés égaux ; tel est Le triangle ABC ( fig. a3), dans lequel AB est égal à AC. Le troisième côté BC prend spécialement le nom de base du triangle Isocèle, et le sommet opposé A le nom de sommet du triangle isocèle.

Un triangle est équilatéral lorsqu'il a ses trois côtés égaux entre eux.

Enfin un triangle est dit rectangle lorsqu'il a un angle droit.

Le côlé BG {fg. 34), opposé à l'angle droit A, reçoii le nom KVhvpaténuse.

On dit que deux triangles sont égaux lorsqu'on peut les appliquer l'un sur l'autre denaanière qu'ils coïncident.

THËOHÉME.

28. Dans un triangle isocèle, let angleâ opposés aux côtés égaux sont égaux.

Soil ABC un triangle isocèle ; par hypothèse le cAté AB est égal au c6lé AC, et il faut démontrer que l'angle B est égal à l'angle C Ifig. a5).

Considérons un second triangle A'B'C, reproduction exacte du premier, et transportons-le sur ABC en le renversant de manière que A' tombe en A etC en B, ce qui est possible puisque le cAié A'C, reproduction de AC, doit,en vertu de l'hypothèse, être égal à AB. Lesangles Aet A'éiant les mêmes, lecdié A'B' prendra la direction ÂC, et comme A' B', reproduction de AB, est égal i AC, le point B' tombera en C; donc les deux triangles coïncideront; par suite, l'angle C coïncidant avec l'angle B et n'étant que la reproduction de l'angle C, on a B = C

Fie. =5.

29. IttciFBOfïUMKnT, ii deux angles d'an triangle sont égaux, les côtés opposés sont égaux et le triangle est isocèle.

Soit ABC un triangle dont les angles B et C sont égaux ; il laiil démontrer que AB= AC.

Considérons un second triangle A'B'C, reproduction exacte lia premier, et transportons-le sur AEC, en le renversant, de iiinnière que B' tombe en C et C en B. Le côté C'B' coïncidera avec son égal BC. L'angle C étant égal à l'angle C et par suite à l'angle B, si l'on fait tomber les deux triant^lcs d'un même

GfiOMlTBIB PLAN!.

é par rapport a BC, le côlé C'A' prendra la direction BA, c. [toini A' tombera quelque pan sur la droite indéOnie BA même, l'angle B' étant égal à l'angle B, et par suite à l'anglle côlé B'A' prendra la direction CA, et le point A' lom 'a quelque pansur la droite Indéflnle CA. Le point A', deitse trouvera la Toissur les deux droites BA et CA, toma donc sur leur intersection A, et les deux triangles ABC. B'C, coïncideront. Puisque le côté A'B*. qui est égal à A6, nt recouvrir exaclemenile cftté AC, on en conclut que AB iC sont égaux.

SCOLIB.

0. Les démonstrations qui précèdent metteni en évidence iropriété propre au triangle isocèle d'être superposable à ■même par retournement. Celle propriété est la clef des res propriétés du triangle isocèle, hinsi t^jig. a6], dans ce relournemeni du triangle Isocèle

C, fi venant en C et C en B, le milieu I de BC retombe sur même aussi bien que le sommet A. Par suite, l'angle AIC Qt recouvrir son adjacent et supplémenuire AlB, et l'angle [ son adjacent BAL Donc, dam tout triangle isocèle BAC, iroite qui joint le sommet A au milieu I de la base BC esi pendiculaire sur cette base et divise l'angle au sommet m tx parties égales.

a droite AI satisfait donc aux quatre conditions suivantes : : passe par le sommet A, par le milieu I de la base BC, elle perpendiculaire sur cette base, elle est bissectrice de igle au sommet.

Ir, deux de ces quatre conditions surfisentpourdéterminer Iroite AI; car on sait que par deux points on ne peutmener