B7DA)=^(B'7D'A

Or, ces deux Ggures rectilignes ont un point homologue commun 7; donc les droites BB', DD\ AA', qui joignent les autres points homologues deux à deux, concourent (32i) en un même point 0.

Ces deux théorèmes, attribués à Desargues, géomètre du xvii* siècle, ont été repris par Poncelel [Traité des Propriétés projectiles) , qui en a fait la base de sa Théorie des figures homologiques. Les deux triangles ABC, A'B'C, qui satisfont aux conditions précédentes, sont dits homologiques; le point 0 et la droite «^7 sont appelés le centre et l'axe d'homolngie.

328. Dans tout hexagone ABCDEF inscrit à une circonférence, les points de concours L, M, N, des trois couples de côtés opposés k^ et DE, BC et EF, CD et AF, sont en lignf droite (y^. 212).

329 . Dans tout hexagone ÂBCUEF circonscrit à un cercle, les trois diagonales AD, BE, CF, qui unissent les sommets opposées, se coupent en un même point 0 (fig. 21 3).

Fig. 3i3.

En effet, on a (321, i*") (A.BFBD)=(C.BFED).

fin effet, soient I et M les pointa où le côté AB rencontre F£ et DE, et L et N les points où CD rencontre AF et

Par suite (320), en coupant le premier faisceau par la droite DE, le second par la droite FE, et nommant G l'intersection de AF et de DE, I l'intersection de £F et de CD, on aura

(LGED) = (MFEI).

Or, ces deux figures rectilignes ont un point homologue commun B; donc (324) les droites LM, GF, DI, qui joignent les autres points homologues deux à deux , se coupent en un même point N. Les trois points L, M, N, sont donc en ligne droite.

Ce théorème, dû à Pascal, et la démonstration si simple que nous venons d'exposer, subsistent quand même l'hexagone cesse d'être convexe.

GÉOUfirRIE PLAMK.

F£; on aura (3:21 , a**), on considérant les deux côtés non contigus AB et CD coupés par les quatre autres,

(BAIM) = (CLND).

Par suite,

(E.BAIM) = (F.CLND).

Or, ces deux faisceaux ont un rayon homologue commun IN ; donc (322 ) les points de concours 0, A, D, des trois autres couples EB et FC, EA et FL, EM et FD, de rayons homologues, sont en ligne droite. Les trois droites AD, BE, CF, passent donc par un même point 0.

Ce théorème est dû à Drianchon [Journ, de V École Polji,^ 1 3*cahier) , qui Ta déduit du théorème de Pascal par la considération des polaires, comme nous le verrons bientôt.

330. Si l'on considère les théorèmes des n*' 32Î, 326, 328 d'une part, et les théorèmes des n*^ 324, 327, 329 de l'autre, on voit que, dans les premiers, il s'agit de points en ligne droite, et dans les seconds de droites €jui concourent en un même point. On dislingue en effet, dans la science de l'étendue, deux genres de propositions , Içs unes se rapportant à des points, les autres à des droites, et se correspondant en vertu de ce qu'on a nommé le principe de dualité. Un des grands avantages du rapport anharmonique est de se prêter indifféremment à ces deux genres de propositions corrélatives, et d'en fournir des démonstrations directes et corrélatives à leur tour. On peut voir, en effet, que, dans les propositions que nous avons placées en regard Tune de l'autre, on passe de l'énoncé et de la démonstration de l'une à l'énoncé et à la démonstration de l'autre, en substituant certains faisceaux de droites concourantes à certaines séries rectilignes de quatre points, et réciproquement.

Le théorème fondamental du n" 320 était connu des anciens; il se trouve dans les Collections mathématiques de Pappus, qui vivait à Alexandrie à la fin du iv* siècle. « Aucune autre proposition, dit H. Chasies dans la préface du Traité de Géométrie supérieure, ne me parait aussi propre à servir de lien entre les diverses parties d*une figure dont on veut déettuvrir ou démontrer les propriétés. La proposition la plus fréquemment employée est celle de la proportionnalité entre les côtés des

triangles semblables; mais ces triangles n'oxislent pas en général dans les données de la ques tion, et il faut chercher à les former par des lignes anxili aires, tandis ^ue les rapports anharmoniques s'aperçoivent presque to ujours dans la figure môme ou peuvent s'y former aisément. »

On se convaincra de la vérité de ces assertions en comparant la démonstration que nous venons de donner (3^) du théorème de Pascal à celle qui résulterait, par exemple, de l'emploi de la théorie des transversales.

Pour démontrer par les transversales le théorème de Pascal, on considère le triangle formé par trois côtés non consécutifs de Thezagone inscrit. Ce triangle est coupé par chacun des trois autres côtés, et, en appliquant successivement à chacune de ces transversales le théorème du n^ 310, on obtient trois relations dont le produit, membre à membre, se réduil à une nouvelle égalit.é de même forme entre les segments que déterminent, sur les côtés du même triangle, les points de concours des côtés opposés de l'hexagone. La réciproque établie au n° 310 prouve alors que ces trois points de concours sont en ligne droite. On voit combien cette démonstration, que le lecteur rétablira sans peine d'après cette analyse, le cède pour la simplicité à celle du n** 328.