SA~SB ~SC

K étant un nombre quelconque, on dit que le nouveau système de points A', B', C, . ^. , est homothétique au système primitif ABC, ....

Le point S est dit le centre^ et le nombre K, le rapport <Vhomothétic. Si K est positif, les deux segments SA et SA' sont de môme sens, et les points A et A' sont d'un même côté du point S {fig. 225). Si K est négatif, les segments SA et SA' sont de sens contraires, et les points A et A' sont de part et d'autre du point S {fig. 226) ; dans le premier cas {fis- 2''A5]fIos deux systèmes sont dits homothétiques directs ; dans le second [Jig. 226), ils sont homothétiques inverses. Quand deux systèmes sont homothétiques inverses, il suffit évidemment, pour les rendre homothétiques directs, de faire tourner l'un d'eux de 180 degrés autour du centre S. On obtient donc tous les systèmes homothétiques à un système donné en faisant varier la position du centre S et en donnant à K toutes les valeurs positives de o à oo .

3îfô. Suivant que les points du premier système ABC. . . sont isolés ou forment des lignes continues, les points du système homothétique A'B'C. . . sont à leur tour isolés ou forment des lignes continues.

Supposons, par exemple, que la figure primitive soit une circonférence

OA dont le centre est 0 [Jig, 227], et cherchons la figure homothétique,

SA' c'est-à-dire le lieu des points A', tels, que 0^ = ^* ^^ ^^^^ prend sur SO

SO' une longueur SO' telle, que ^ = K, les deux triangles semblables (200)

SOA, SO'A', donnent -rrr- = K; par suite O'A' est constant comme OA,

Fig. 227.

et le liea est une circonférence dont le point 0' est le centre. Ainsi la figure homothétique d'une circonférence est une circonférence,

THÉORÈME

356. Dans deux systèmes homothétiques, la droite AB qui Joint deux points quelconques du premier système et la droite A'B' qui joint les points homologues du second système sont parallèles et dwis le rapport K (fig. 225 et 226).

En effet, les droites AB et A'B', divisant les rayons SA et SB dans le même rapport K, sont parallèles, et Ton a en outre

a;^' sa; AB" "" "sa "

Corollaires.

357. Si trois points M, N, P du premier système sont en ligne droite, il en est de môme des trois points homologues M\ N', F du second système; car les droites M'N', M'P' ayant un point commun M' et étant Tune et l'autre parallèles (356) à MNP, coïncident. La figure homothétique d'une ligne droite est donc une ligne droite parallèle à la première; ces deux droites sont dites homologues.

Si un point M coïncide avec le centre S d'homothétic, il en est de même de son homologue M' ; car la relation