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làO 'SiO

Donc les deux centres d'homothétie divisent harmoniquement la ligne des centres 00' des deiix cercles.

Les tangentes communes extérieures passent par le centre d'homothétie directe, et les tangentes communes intérieures par le centre d'homothétie inverse. C'est sur cette propriété qu'est fondée la construction du n" 260.

Lorsque les deux cercles sont tangents, leur point de contact est un centre d'homothétie, directe si le contact est intérieur, inverse si le contact est extérieur.

THÉORÈME

363. Deux systèmes P' et P", homothétiques à un troisième P, sont homothétiques entre eux (Jîg, 228 et asg).

Soient A un premier point du système P, et A' et A* ses points homologues dans les systèmes P* et P". Joignons le point A à un point quelconque M du système P, et joignons A' et A' aux points M' et M' homologues de M dans les systèmes P' et P". Les systèmes P' et P étant homothétiques, les droites A' M' et AM seront parallèles et dans un certain rapport K'; de même, les droites A" M' et AM seront parallèles et dans le rapport K' d'homothétie des systèmes P et P. Donc les droites

A'M' et A'M* sont parallèles, et dans le rapport constant rrr* Donc (360),

les systèmes P' et P' sont homothétiques.

GÉOMÉTRIE PLAIKB.

Corollaires.

364. Si K'=: K', les systèmes P' et P' ont un rapport d'homothétie égal àTunité; ils sont donc superposables. Il résulte de là que, pour avoir tous les systèmes homothéliques à un système donné, il n*est pas nécessaire de faire varier le centre (354) : il sufGt, en conservant le môme centre, de faire varier K de zéro à l'infini.

365. Si P est homothétique direct avec chacun des systèmes P' et P*, AM et A' M' sont de môme sens, comme AM et A' M', et par suite aussi A' M' et A' M"; de sorte que P' et P" sont homotbétiques directs

On verra de même que, si P' est homothétique inverse avec chacun des systèmes P et P', Pet P' sont homothétiques directs (^. 2^29).

Si P est homothétique direct avec Tun des systèmes P' et P', et homothétique inverse avec l'autre, P' et P* sont homothétiques inverses {fig, 229).

Parmi les trois systèmes homothétiques ainsi formés, il y en a donc toujours un nombre impair (i ou 3) dont l'homothétie est directe.

Dans tous les cas, les trois centres d'homothétie S, S', S', sont en ligne droite (Jig. 228 et 229).

Fig. 238.

Fie- 229.

En effet, la droite S'S', considérée comme appartenant au système P, a pour homologue dans le système P' cette droite elle-même, puisque (357) elle passe par le centre d'homothétie S' de P et do P'. Cette droite, considérée comme appartenant au système P, est aussi à elle-même son homologue dans le système P', puisqu'elle passe par S', centre d'homothétie de P et de P*. Donc, cette droite S' S' (357) passe par le centre S d'homothétie des systèmes P' et P*.

366. Trois cercles considérés deux à deux ont trois centres d'homo-thétie directe et trois centres d'homotbétie inverse (362). Les trois centres d'homotbétie directe sont sur une môme droite (365), qu'on nomme axe d'homothétie directe. De même, deux centres d'homotbétie inverse et le centre direct qui répond au troisième centre inverse sont sur une même droite qu'on nomme €u:e d'homothétie inverse; il y a, d'après cela, trois axes d'homotbétie inverse.