SEMBLABLES

367. Pour étendre aux figures curvilignes la notion de la similitude, il faut prendre pour point de départ une propriété essentielle des polygones semblables qui soit immédiatement applicable aux courbes. Voici comment on parvient à faire cette généralisation :

!• Deux pofygones semblables P et P' étant donnés dans un plan, on peut toujours amener le polygone P' à ai^oir ses côtés parallèles aux cotés homologues de P (Jîg' aSo).

Deux cas peuvent se présenter, suivant que les deux polygones sont de même sens ou de sens opposés.

On dit que P et P' sont de même sens lorsque deux mobiles, astreints à décrire respectivement leurs contours ABCDE, A'B'C'D'E', en suivant l'ordre alphabétique, marchent tous les deux dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre ou tous les deux dans le sens opposé.

Fig. a3o.

Considérons alors deux côtés homologues quelconques CD et CD' et faisons tourner le polygone P' autour du point C d'un angle a égal à celui des deux côtés considérés; CD' deviendra parallèle à CD, puis, comme les angles CD'B', CDE sont égaux et que D'E' tombe par rap-

246 GÉOMÉTRIR PLANB.

port à CD' du môme côté que DE par rapport à CD, le côté D'B' deviendra parallèle à DE, et ainsi de suite. ^

On dit que P et P' sont de sens opposés lorsque deux mobiles astreints à décrire leurs contours respectifs ABGDE, AiBiCiDiEi, en suivant Tordre alphabétique, marchent l'un dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre et l'autre dans le sens contraire. Dans ce cas, en prenant le symétrique de AiBiCiDiEi autour d'un axe quelconque XY du plan, c'est-à-dire en rabattant ce polygone AiBiCiDiEt autour de cet axe, on obtiendra évidemment un second polygone A'B'C'D'E', qui présentera, relativement au polygone ABCDE, la même disposition que dans le premier cas. Un rabattement suivi d'une rotation amènera donc alors le polygone AiBiCiDiEi à avoir ses côtés parallèles à ceux de ABCDE.

2* On a vu que deux pofygones semblables qui ont les côtés parallèles sont homothétiques (361). Deux polygones semblables peuvent donc (i°) être rendus homothétiques; et réciproquement, la figure homothétique d'un polygone est un polygone semblable au premier (358).

Par suite, pour qu'un polygone P' soit semblable à un autre polygone P, il faut et il suffit que ce polygone P' soit égal à l'un des homothétiques de P.

Voilà donc une propriété caractéristique des polygones semblables. D'ailleurs, la définition de l'homothétie e^t immédiatement applicable aux figures curvilignes (354). On est ainsi conduit à cette définition générale :

On dit qu'w/ie Jî^re est semblable à Ufie autre lorsqu'elle est égale à Vune des figures homothétiques de cette autre.

On comprend d'après cela pourquoi on donne, en général, les noms de centres de similitude, à' axes de similitude et de rapport de simili^ tude aux centres, aux axes et au rapport d'homothétie.

368. On nomme pâle double de deux figures F et F' semblables et de même sens le point du plan de ces deux figures qui est son propre homologue.

n faut montrer qu'un tel point existe et qu'il est unique.

Rappelons d'abord qu'on appelle homologues deux points 0 et 0' tels, qu'on puisse les rattacher à deux côtés homologues AB et A'B' par deux triangles semblables AOB, A'O'B'; et alors (209), les triangles qui rattachent ces mêmes points à tout autre couple de côtés homologues sont par là même semblables. Nous n'avons donc qu*à prendre à volonté deux côtés homologues AB et A'B' des polygones F et F', et à montrer qu'il existe un point 0, et un seul, tel que les triangles AOB et A'OB' soient semblables, c'est-à-dire que les angles lAO, lA'O soient égaux, ainsi que les angles IBO, IB'O, I désignant rintersection des

droites AB, A'B'. Or l'égalité des deux premiers angles impose seulement au point 0 (y^. a3oi ) la condition de se trouver sur le cercle circonscrit au triangle lÂA' ; l'égalité des deux autres angles indique à son tour, comme autre lieu géométrique du point 0, le cercle circonscrit au triangle IBB'. Ces deux cercles, passant par I, ont un second point commun et un seul : c'est le point cherché 0.

On donne parfois à ce point double 0 le nom de centre de rotation fies deux figures semblables F et F. C'est qu'en effet il suffit de faire

Fig. a3o,.

tourner, d'un angle convenable, l'uhe des figures, ¥' par exemple, mttour du point 0, pour rendre les deux figures homothétiques, 0 e'tant lui-même le centre d'homothétie. Cela résulte immédiatement de ce que les triangles OAB et OA'B', OAC et OA'C, . . ., étant semblables deux â deux, les côtés OA et OA', OB et OB', OC et OC, . . . sont proportionnels, et les angles AOA', BOB', COC, . . . sont égaux comme étant la somme ou la différence d'angles égaux.

Ainsi, on obtient la seconde figure A'B'C... on joignant le point double 0 aux divers points A, B, C, . . . do la première, puis en faisant tourner les rayons OA, OB, OC, .. ., d'un mémo angle V autour de 0, tandis qu'on augmente ou qu'on diminue les rayons dans un môme rapport K.

D'ailleurs, puisque la rotation V amène toute droite BC de la figure F à être parallèle à son homologue B'C de la figure F', on voit que deux droites homologues quelconques BC, B'CV, des deux figures font entre elles un angle égal à l'angle do rotation V.

Les triangles AOA', BOB', COC, . . . , ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels, sont semblables, et l'on peut dire encore qu'on obtient les divers points A', B', C, ... de la figure F', en construisant sur les droites OA, OB, OC, . . . , do la figure F des triangles semblables AOA', BOB', COC, ....

La construction donnée ci-dessus pour obtenir le point double de deux figures semblables est, en général, la plus simple; mais on peut,

a48 GÉOMÉTRIE PLANE.

dans certains cas, mettre à profit la propriété suivante : Le rapport des distances du point double à deux points homologues quelconques est égal au rapport de similitude des deux figures. Cette propriété est évidente, puisque les distances en question sont des droites homologues. Il en résulte que le cercle, lieu des points dont le rapport des distances à deux points homologues des deux figures est égal au rapport de similitude (187), passe par le point double.

Il convient encore de remarquer, en vue des applications, que, lorsque les points B et A' se confondent et, par suite, coïncident avec I (fig. 23oi), les cercles lAA', IBB', dont le second point d'intersection est le point double, doivent être remplacés par le cercle qui, passant par A et I, touche IB', et par le cercle qui, passant par B' et I, touche AI.

Deux cercles sont deux figures semblables ; mais leur point double n'est déterminé que si Ton indique le point A' du second cercle que Ton veut considérer comme l'homologue d'un point A choisi arbitrairement sur le premier cercle. Si le point A' homologue de A n'est p^s donné, on ne connaît qu'un seul couple de points homologues, celui qui est formé par les centres C et C' des deux cercles; et le point double n'est astreint alors qu'à être situé sur le cercle, lieu des points dont le rapport des distances aux l^entres C et C est égal au rapport des rayons, c'est-à-dire sur le cercle ayant pour diamètre la droite qui joint les centres de similitude des cercles proposés (187, 362).

Pour deux droites indéfinies, considérées comme des figures semblables, le point double n'est déterminé que si l'on donne sur ces droites deux couples A et A', B et B', de points homologues, auquel cas le point double est le second point d'intersection des cercles circonscrits aux triangles lAA', IBB', I désignant le point commun aux deux droites proposées.

MÉTHODE DBS FIGURES SBHRLARLES.

369. Parmi les procédés généraux qui servent à la résolution des problèmes, il importe de signaler celui qui consiste à construire une figure semblable à la figure cherchée avec des éléments pris parmi les données ; on passe ensuite de cette figure auxiliaire à la figure demandée, en comparant deux éléments homologues des deux figures.

Cette méthode, dite par similitude^ est surtout avantageuse quand» parmi les données, ne se trouve qu'une seule longueur L, les autres données étant des rapports ou des angles. On fait alors abstraction de la longueur L, et l'on construit une figure <p présentant les angles et les rapports donnés. X étant le côté de cette figure auxiliaire qui correspond au côté L do la figure cherchée F, il suffît, pour avoir cette der-

LIYRB III.

LES FIGURES 6EHBLABLES.

nîère, de construire (252), sur une droite égale à L et considérée comme homologue du côté X, une figure semblable à la figure cp.

On voit, sans autre explication, que ce procédé donnera immédiatement la solution de questions telles que celles-ci :

Construire un triangle, connaissant un cmgle, un côté et le rapport des deux autres côtés, ou bien deux angles et la longueur d'une droite ( hauteur, média/ie, bissectrice, . . . ) devant être déterminée dès que le triangle l'est.

Construire un carré, connaissant la différence entre la diagonale et le côté ....

Voici un exemple un peu moins simple :

Fiç. a3r.

Fig. a3a.

Soit proposé de construire un triangle ABC dont on donne les trois hauteurs a, 6, ^ {fig- 231); a, 6, c, étant les côtés du triangle inconnu, et BD et AE étant les hauteurs 6 et a, les triangles semblables CBD, CAE, donnent

On a de même

et, par suite,

«a = ^6 = cy.

On voit par là que si, d'un point pris à volonté, on mène à un cercle trois sécantes respectivement égales aux trois hauteurs données a, 6, y, les autres segments, comptés sur les mômes sécantes à partir de leur point commun, seront proportionnels aux côtés a, 6, c du triangle demandé. On construira donc un triangle A'BC ayant pour côtés ces segments; ce triangle sera semblable au triangle cherché ABC et, pour avoir ce dernier triangle, il suffira de prendre sur la hauteur issue du sommet B une longueur BD = 6, puis de mener par le point B la parallèle AC à AX'.

Dans les questions que nous venons de traiter, la position absolue de

25o GÉOMÉTRIE PLANE.

la figure demandée demeure arbitraire ; mais, dans un grand nombre de cas, la figure à construire doit, au contraire, avoir une position déter> minée par rapport à des points ou à des droites données. C'est alors de l'une de ces conditions de situation qu'il faut faire abstraction, et la méthode s'appliquera encore si les figures satisfaisant à Tensemble des autres conditions données sont semblables et semblablement placées. Citons, comme exemple, un problème déjà résolu d'une autre façon (263) : Par un point P situé à l'intérieur d'un an^le ^S£iï^ tracer un cercle C tangent aux deux côtés de l'angle. En faisant abstraction de la condition imposée au cercle de passer par le point P, on tracera un cercle quelconque 0 inscrit dans Tangle XSV. Ce cercle 0 et le cercle demandé C, dont nous désignerons les centres par o) et Yi auront le point S pour centre do similitude. La droite PS, par sa rencontre avec le cercle 0, donnera donc 1 homologue Q du point P; et, comme les rayons («>Q, CP doivent être parallèles (356), on aura le centre ^ du cercle inconnu, eu prenant l'intersection de la droite S(i> et de la parallèle menée par P àcDQ.

Soit encore proposé d'inscrire dans un triangle donné ABC lut triangle dont les côtes soient parallèles à ceux d'un triangle donné de f (fg. aSa).

Si l'on trace dans le triangle ABC une parallèle d'f à df^ puis par les points d' et/ des parallèles d'e\f'e\ k de et k ef, on formera un triangle d'f'e\ homothétique au triangle cherché DFE, et le point A sera pour ces triangles un centre de similitude directe (336). La droite Xe' coupera donc BC en un point E qui sera l'un dos sommets du triangle demandé, et il ne restera plus qu'à mener par ce point E des parallèles ED et EF, à e^ et à ej] et à joindre les points D et F.

370. A ce procédé s'en rattache un autre où l'on opère par renversement, c'est-à-dire qu'on renverse la question en prenant les données pour inconnues, et réciproquement. En traitant ce nouveau problème, on obtient une figure égale ou semblable à la figure cherchée, et, pour avoir la figure demandée dans la position voulue, il suflSt d'en connaître une seule ligne.

Reprenons, par exemple, le problème précédent. On commencera par circonscrire au triangle def un triangle abc ayant ses côtés respectivement parallèles à ceux du triangle ABC. La figure ainsi formée sera semblable à la figure cherchée, et il suffira de partager le côté ABdans le rapport de db à ila pour avoir le sommet D du triangle demandé.

Voici un second exemple de cette méthode indirecte :

Inscrire dans un quadrilatère do/me" ABCD un quadrilatère ab'c'd' semblable à un autre quadrilatère donné A' W CD' {fig* a33).

La méthode inverse sera ici évidemment préférable à la méthode directe ,

parce que, s'il s'agit de circonscrire une flgure semblable au lieu de rinscrire, les segments capables, décrits sur les côtés du polygone donné, fournissent immédiatement des lieux géométriques des sommets du polygone à construire.

Renversons donc la question, et proposons-nous de circonscrire à un quadrilatère donné A' B' CD' un quadrilatère abcd semblable à un autre quadrilatère donné ABCD.

Les angles du quadrilatère abcd étant donnés, les sommets a, h^ d appartiennent aux segments capables de ces angles, décrits sur les c6lés A'B', B'C, A'D'.

De plus, le quadrilatère ahcd étant semblable au quadrilatère ABCD, le triangle ahd est lui-môme semblable au triangle ABD, et l'on connaît les angles abd^ adb. Comme ces angles ont pour mesures, le premier la moitié de Tare B'b\ le second la moitié de l'arc A'd\ on pourra marquer sur les arcs B'C et A'D' les points b' et d' : la droite b'd' sera donc déterminée, et ses seconds points d'intersection avec les segments décrits sur WC et sur A'D' seront les points b et d. Ayant ainsi deux sommets opposés du quadrilatère abcd, le problème inverso se trouvera résolu.

Fig. 233.

Pour revenir au problème direct, on n'aura plus qu'à diviser les côtés do quadrilatère ABCD dans dos rapports égaux à ceux des segments que les points A', B', C, D', déterminent sur les côtés du quadrilatère abcd, et À joindre les points de division.

Le problème proposé a buit solutions dans le cas général. En effet, en considérant le problème inverse, on voit d'abord que l'angle d peut s'appuyer indifféremment sur chacun des côtés du quadrilatère A'B'C'D' : ce qui donne quatre solutions. De plus, chacune de ces solutions doit être double : car l'angle n s'appuyant sur le côté A'B' par exemple, les angles b eid peuvent s'appuyer respectivement, soit sur les côtés B'C et A'D', soit au contraire sur les côtés A'D' et B'C. Cette double solu-

tion se réduirait à une seule, si les angles 6 et e£ étaient égaux en même temps que les côtés B'C et A'D'.

371. La méthode par rotation dont nous avons parlé à la fin du livre lî (172) prend une extension considérable quand on la combine avec la construction d'une figure homotbétique.

Soit proposé de construire un triangle ABC semblable à un triangle donné, de telle sorte que l'un des sommets C ait une position donnée et que les deux autres sommets A et B soient respectivement sur deux lignes données a et b.

Il est clair que, si Ton fait tourner la lignea autour du point donné C d'un angle égal à Tanglo connu AGB, puis qu'on construise la ligne a* homotbétique de cette ligne ainsi déplacée en prenant pour centre d'ho-

CB

mothétie le point C et pour rapport d'homotbétie le rapport connu ^ >

le point A de la ligne a viendra en B. On obtiendra donc la position cherchée de ce sommet B en prenant l'intersection des lignes b et a\

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse de construire un triangle dont les côtés soient proportionnels aux nombres 3, 4i 5, de façon que les sommets soient sur trois droites parallèles données, ou sur trois cercles concentriques donnés. Le triangle est ici rectangle; on placera à volonté le sommet de l'angle droit sur celle des lignes à laquelle il doit appartenir; puis, on fera tourner l'une des autres lignes autour de ce point d'un angle égal à 90"*, en prenant j pour rapport d'homothétie.

La méthode consiste, on le voit, dans l'emploi du point C comme centre de rotation et d'homothétie.

Voici quelques autres exemples simples :

i^ Soit un quadrilatère ABGD. On peut considérer A et D, B et C comme deux couples de points homologues de deux figures semblables ; 0 désignant le pôle double de ces deux figures, les triangles AOB, DOC seront semblables ; par suite, il est aisé de voir qu'il en sera de même des triangles AOD, BOC ; donc, si l'on considère A et B, G et D comme deux couples de points homologues de deux autres figures semblables, le pôle double de ces figures sera aussi le point 0 ; et Ton verrait de même que ce point est encore le pôle double de deux figures semblables dont A et G, B et D seraient deux couples de points homologues. On conclut de là que dans tout quadrilatère complet, les earcles circonscrits aux triangles qui restent lorsqu'on néglige successivement un des côtés passent tous par un même point»

2** Considérons un triangle quelconque ABC et en même temps le triangle A'B'C' qui a pour sommet les milieux des côtés du premier. Ces deux triangles sont semblables ; deux côtés homologues quelconques forment un angle de 180* et le rapport de similitude est égal à ^. Si 0

désigne le pôle double, comme les angles AOâ', BOB', COC doivent être égaux à i8o% on voit que ce pôle 0 se trouvera sur toute ligne joignant deux points homologues, et qu'il divisera cette ligne dans le rapport de I à a. Ce pôle est donc à la rencontre des médianes AA', BB', CC'. Mais les points de rencontre des hauteurs dans les deux triangles sont deux points homologues K et K' ; d'ailleurs K' est le centre du cercle circonscrit à ABC; donc, dans tout triangle ABC, le point de concours des hauteurs R, le point de concours des médianes 0, et le centre K' du cercle circonscrit sont situés sur une même ligne droite que le point 0 partage dans le rapport de i à 2.

3' On donne, dans un pUm^ deux droites L et L', un point A sur la droite L et un point A! sur la droite L'. Mener, par un point quelconque P du plan, une droite qui coupe respectivement L et L' en deux points X et X', tels que les segments AX et A'X' aient un rapport donné (fig. 233 1).

Considérons A et A', X et X' comme deux couples de points homologues de deux figures semblables F et F'; le point double 0 de ces deux figures s'obtiendra aisément, car il est d'une part sur le cercle circonscrit au triangle AA'I, I étant le point d'intersection dos droites L et L'; d'autre part, il est sur le cercle, lieu des points dont le rapport des dislances à A et A' est égal au rapport donné.

Fig/ i33..

L'angle OAA' est donc connu, et, comme il doit être égal à OXX', c'est-à-dire à OXP, il suffira, pour avoir le point X, de décrire sur OP un segment capable de l'angle OAA'.

Dans le cas particulier où le point A' se confondrait avec I, le cercle circonscrit à AA'I serait remplacé par le cercle passant par A et tangent en I à la droite L'.

Ce problème remonte à Apollonius, qui l'avait surnommé problème de la section de raison.

25^4 GÉOMÉTRIE PULNB.