OL

' OS O'S OP + OO'-^O'P' OP-i-OP'

L'axe radical de deux cercles est donc la droite équidittante des deux polaires de l'un quelconque de leurs centres de similitude, par rapport aux deux cercles.

Ce théorëcie est d'ailleurs évident dans le cas où le ceotre de similitude considéré est extérieur aux deux cercles; car J'axe radical passe alors par les milieux de leurs tangentes communes, tandis que les polaires sont les cordes do contact correspondantes.

D résulte de la même proposition que l'axe radical d'un cercle 0 et d'un point 0' est parallèle à la polaire du point par rapport au cercle et éqaidistant de ce point et de sa polaire.

THÉORËME.

"376. Les axes radicaux de trois cercles considérés deux à deux m même point {(tg. a35 et a3G).

I effet, soient 0, G, 0', les centres des trois cercles el L, L', L*, xes radicaux des cercles 0' et 0', 0' et 0, 0 et 0'. En supposant les trois points 0, 0', 0", ne soient pas en ligne droite, on voit que L' perpendiculaires à deux droites qui se coupent, O'O" et O'O, incontreronl en un certain point C, qui sera alors d'égale puissaoco rapport aux cercles 0' et (f, et aussi par rapport aux cercles 0*

et G. Ce point C aura donc même puissance par rapport aux cercles 0 et C, et par suite il appartiendra à leur axe radical L".

Le point C, commun aux trois axes radicaux, prend le nom de centre radical du système des trois cercles 0, 0', 0*.

Lorsque les trois centres sont en ligne droite, le centre radical est à riaGni ou est indéterminé suivant que les cercles 0 et 0', 0 et 0' ont des axes radicaux parallèles ou coïncidents.

Ce théorème permet de construire simplement Taxe radical de deux cercles 0 et 0' extérieurs ou intérieurs Tun à Tautre. Il sufGt de couper ces deux cercles par un troisième cercle quelconque 0'. La corde commune aux cercles 0 el O" et la corde commune aux cercles 0' et 0' se couperont au centre radical C des trois cercles 0, 0\ 0", et il restera à abaisser de ce point G une perpendiculaire sur la ligne 00' (Jîg. 'iS5 ela36).

377. Dès qu'il existe dans le plan de trois cercles plusieurs points distincts ayant môme puissance par rapport à chacun des trois cercles, on peut affirmer que ces points sont sur une même droite qui est Taxe radical commun aux trois cercles.

On peut fonder sur cette remarque une nouvelle démonstration très simple de la propriété du quadrilatère complet qui fait l'objet du n'^Sl?.

Soit ABCDËF (y%. 237) un quadrilatère complet. Considérons l'un

Fie. 337.

des triangles BCE formé par trois côtés du quadrilatère; soient BP, CR, EQ, les trois hauteurs de ce triangle^ et 0 leur point de concours. Les circonférences décrites sur les diagonales BD, AC, £F, comme diamètres, passent respectivement par les points P, R, Q. Les puissances du point 0 par rapport à ces trois cercles sont donc