OB.OP, OR. OC, OQ.OE

et les quadrilatères inscriptibles BRCP, BQEP, montrent que ces puissances Bont égales. Le point 0 a donc même puissance par rapport aux trois cercles, et il en est de même des trois autres points analogues Oi,

H. ot Dl C. — Tr, de Géom. (I'* Partie). 17

GÉOaiÊTRlK PLAXE.

Os, Os, relatifs aux trois autres triangles que Ton peut former en prenant chaque fois trois des côtés du quadrilatère. Par suite, d'après la remarque ci-dessus, les trois cercles considérés ont un même axe radical qui contient les points 0, Oi, Oi, O9, et les centres des trois cercles, c'est-à-dire les milieux des trois diagonales, sont sur une même droite perpendiculaire à Taxe radical commun.

On voit, par celle démonstration, non seulement que les milieux des diagonales d'un quadrilatère complet sont en ligne droite, mais encore que les circonférences décrites sur les troix diagonales comme diamètres ont même axe radical, que cet axe radical est perpendiculaire à la droite qui passe par les milieux des diagonales, et qu'il contient les points de concours des hauteurs des quatre triangles formés par les côtés du quadrilatère combinés trois à trois.

POINTS antihomologues DE DEUX CERCLES.

THÉORÈME

378. 1° Le produit des distances de l'un quelconque des deux centres de similitude de deux cercles â deux points atiti-homologues est con^ stant; 2" dt^ couples de points anti-homologues sont sur une même circonférence; 3" deux cordes anti-homologues se coupent sur l'axe radical.

Soient deux cercles 0 et 0' {Jig, ^38), S un de leurs centres de

Fig. 238.

similitude, par exemple le centre de similitude externe. Une sécante SM, issue de S, coupe les cercles 0 et 0' en quatre points M, N, M', N'. Les points M et M' sont homologues par rapport au centre S, car les rayons correspondants OM, O'M', sont parallèles ; de même, N et N' sont homologues. Les points M et N' sont dits anti-homologues, ainsi que les points N et M'. Une corde quelconque M/i du premier cercle, et la corde N'm' du second cercle qui joint les points anti-homologues des extrémités de la première, prennent le nom de cordes anti-homologues. Ces déGnitions établies, voici la démonstration du théorème énoncé :

i" En désignant par r et r' les rayons des deux cercles et par p la puissance du point S par rapport au cercle 0, on a

SM.SN = p et ^=-,-

En divisant la première égalité par la seconde, il vient

SN.SM'=7î~;

et Ton trouverait de même