PROBLÈME DE MALFATTI

407. Étant donnffun triangle ABC, décrire trois cercles (<7), (^),(c), inscrits respectivement dans les angles A, B, C, ^f tels que chacun d'eux touche les deux autres.

Trois cercles (a), {b)^ (£?), considérés deux à deux, donnent lieu à trois couples ayant chacun quatre tangentes communes. Nous dirons que deux tangentes communes sont associées, lorsqu'elles seront relatives à un môme couple do cercles et qu'elles seront en outre de môme espèce, c'est-à-dire toutes deux extérieures ou toutes deux intérieures.

Cela posé, nous établirons d'abord, pour plus do clarté, deux lommes préliminaires.

i® Si deux tangentes extérieures rfo, d^^ relatives à deux couples différents {b) et (c)y(b) et (a), et une tojigente commune inttfrieure dh^ relative au troisième couple (a) et (r), concourent en uti même point d, les tangentes aq, Y?» P?» ^"* ^"'' ^^^^ respectivement associées, concourent aussi en un même point q ^fig. 248).

En effet, par le point 9, intersection de ^q et de y?) imaginons qu'on mène la seconde tangente qp au cercle (<?); il sufiit de montrer que cette droite qp louche le cercle (a). Or, les quadrilatères rfa^ y» dhq%^ étant circonscrits, le premier au cercle (6), le second au cercle (c\ on a

doi-h d^ = q"^ -^-qa, d^ -h qh — dh -h qoLy

d'où, par soustraction,

d-^ -^ d/i = q^-^-qh.

Le quadrilatère d^qh est donc circonscriptible à un cercle; et, comme trois de ses côtés touchent déjà le cercle («), le quatrième côté qh doit toucher ce même cercle.

Fîg. 248.

2** Si deux cercles (0) et (0') déterminent sur une sécante AB' deux cordes égales AB, A'B', ces cercles seront vus sous des angles égaux du point de concours M des tangentes MA, MB', menées aux extrémités de la sécante {fig. 2481).

En effet, soient F, P, F', les projections des points 0, M, 0', sur la sécante AB'. Les triangles AMP, AOF, étant semblables, ainsi que les triangles MPB' et B'O'F', on a

d*où, par multiplication.