PROBLÈME DE CASTILLON

406. Inscrire dans un cercle donné un polygone dont chaque côte passe par un point donné»

La solution suivante, que nous empruntons à M. Petersen, offre un exemple très remarquable de la méthode par inversion. Le lecteur la saisira sans peine s'il veut bien faire la figure avec la règle et le compas. Nous avertissons d'ailleurs, une fois pour toutes, que, lorsque nous parlons de l'inversion d'une partie de la ligure autour d'un point, il faut entendre que Ton construit la figure inverse de la partie considérée en prenant pour origine le point indiqué et pour puissance d'inversion la puissance de ce point par rapport au cercle donné.

Il convient de distinguer deux cas suivant que le nombre des côtés est pair ou impair. Nous nous bornerons aux cas du quadrilatère et du triangle, la généralisation n'offrant après cela aucune difficulté.

Cas du quadrilatère. — Soient a, b, Cj d les points par lesquels doivent passer respectivement les côtés AB, BC, CD, DA. Remarquons d'abord que le point A, après quatre inversions successives autour de a^ h, c, rf, revient en A; en d'autres termes, si l'on prend successivement l'inverse ka de A par rapport à «, l'inverse kab de ka par rapport à b, l'inverse kabc de Aa^ par rapport à c, et enfin l'inverse kabcd de kabc par rapport à d^ le point kabcd coïncidera avec A. Désignons par P le point obtenu par l'inversion de d successivement autour de c, t, fl, en sorte que l'inversion de P autour de ^, 6, c reproduira d. Cela posé, si l'on faisait successivement l'inversion de la droite PA autour de a, 6, c, d^ on trouverait d'abord un cercle passant par a, B, Pa, puis un cercle passant par a^, C, Vabc ensuite un cercle passant par abcy D, Vahc ou a^^* D, d, et enfin une droite passant par A et par le point abcti que nous désignerons par Q et que l'on obtient en faisant l'inversion de a autour de bj r, d. Mais les droites QA et PA qui ré-

LIYRE m. — LES FIGURES SEMBLABLES. agS

sultent ainsi l'une de Tautre par quatre inversions doivent (387) faire avec le cercle donné des angles égaux et de môme sens, puisque, d'après la manière dont on a choisi les puissances, le cercle se transforme chaque fois en lui-môme ; donc PA et QA forment une même droite, et Ton obtient le point A par l'intersection du cercle et de la droite qui joint les points connus P et Q.

Cas élu triangle. — Soient a^ b, c, les points par lesquels doivent passer respectivement les côtés du triangle demandé ABC.

En opérant comme ci-dessus, mais faisant bien entendu trois inversions au lieu de quatre, on trouve encore deux segments rectilignes PA et QA; seulement ils no forment plus une môme droite, car les angles quils font avec le cercle donné sont égaux, mais non de môme sens. Soit R le point qu'on obtient en faisant l'inversion autour de a, b, c, de l'un des points où Pa coupe le cercle; par cette opération, a? et AP deviennent les droites RQ et AQ, et les angles aPA, RQA sont égaux et de même sens, en sorte que, si l'on appelle S Tintersection de a? et de QR, le quadrilatère APSQ est inscriptible ; le cercle circonscrit au triangle connu PSQ détermine donc le point A par son intersection avec le cercle donné.