MO~MR = G<>-RH = QE — RF- L^-IH

••t La cvfDpiinLsoa «ios in*?r.L-->?< e\tr}.".e5 proa\e ;u.* lo ^vi:r. M o^t lo puînt où le cvtè RQ touche le cervle ia>crtt ^.Liiis lo lr'a"j;V KLv} vlt^O- Noffâ «l^Ssi^mer^as ce dernier cercle par i^vi'u ol uras iv^nvNew'evvuw parti'i ti \c' * les cercle:* analo^rues ^îuî ivmcîunU rtv^^Hvliwnuoul Kw côcés AC et AB aax poiats N et P.

Si l'on considère alors le système des lrv>is cercle* ya\ \,o\ {c\ les tangentes communes RN, Sy« PQ, cvmcouraiU du )viiU I . il rt^^^uU^^ da premier lemme que la seconde tangente comuuuie inlêrieuiv ^ \u^ et à (5') passe par le point de concours C dos tangentes mMunuinen extérieures BC et AC.

I^s relations

MD = MH-TF» DUr-NK- NK,

donnant, par addition, MU — TN, la reninniuo i]ui ltMM«lno lo soooiul lemme prouve que les cercles («') et {,0') doixoul Inlorcoplor xur MN deux cordes égales. Donc, en vertu do ce uu^mo lonuuo, la Itin^oido

commune inlérieure aux deux cercles {a') et (&'), qui passe par le sommet C, est la bissectrice de Tangle C.

De là, on conclut le tracé suivant : I étant le centre du cercle inscrit dans le triangle donné ABC, inscrivez un cercle dans chacun des triangles lAB, IBC, ICA, puis menez les secondes tangentes communes intérieures de ces trois cercles pris deux à deux; on obtient ainsi des triangles ayant chacun pour côtés une de ces tangentes et deux côtés du triangle ABC : les cercles inscrits dans ces nouveaux triangles sont les cercles cherchés.

Fig. 248..

Cette règle a été donnée en 1826 par Steiner, mais sans démonstration proprement dite, Féminent géomètre s'étant borné à indiquer les théorèmes sur les centres de similitude, les axes radicaux, ..., qui permettraient de parvenir au tracé indiqué.

Nous avons adopté ici la démonstration de M. Hart, développée par M. Desboves dans ses Questions de Géométrie,