DÉFINITION DES SEMI-DROITES ET DES GICLES

408. Une droite étant donnée, on peut supposer qu'elle soit décrite dans un certain sens par un point mobile ; une telle droite, déterminée ainsi par sa position et le sens dans lequel elle est décrite, est désignée sous le nom de semi-droite ; ce sens est indiqué sur la figure par une flèche placée près de la droite.

iiTfti m. — us noms «■»—*■>■•- k^

par «B poâl Bobde; «a lid cerdi^« <iie(9ff«Miè ^^ki

et ks» dMS kqoel a «I àécril, ttl dè^aésm^W

e^ mdiq«6 sv k 6$v« par «M flècbi» |iièMi9<» |4^

eercie pcmwil être décrit ôêês dîna s«ci$ ditif^nnl» dl^t<(r« drsx cfctes dsliacts q[iie Foii appelle €yryrs <f^Kfts. Ed m poiaft A dTan cyde, b tai^nle «ioît être coDsi\î(^n$e« W kvft^ ^V^ TèUs jnfimmpnt petit oommim an crcle, comme décrite dans le uhkoe ^eo»

qoekcycte ; k tangente an point A est donc une semi^iroile tkn détermi»<^o

De là résultent ks conséquences suivantes :

1* On ne peut mener à un ejrcie donné qu'une iinn^enitf /miW4VfV U une teminiroite donnée (JSg. x{9).

n est ckîr, en eOet, qu'on peut mener au cercle délermin^ (>ar lo cycto deux tangentes parallèles à k droite déterminée par k seminlroilo don« née; mais, si Ton désigne par A et par A' les points de contact, on voit que les tangentes au cycle en ces points ont des directions opposées ; uno seule d'entre elles est donc parallèle à la semi-droite donniV.

a* Deux cjrcles donnés ont deux tangentes communes et n*vn cnt quedrux^

Sur IdiJ^g' tî49i, on voit que les semi-droites AiV'ctD'D sont (an(^>ntes à k fois aux deux cycles K et R'. Les cercles déterminés par cos cycles ont quatre tangentes communes dont deux sont précisi^ment A A' ot 110'; si Ton considère une quelconque des deux autres, par exemple CC\ il o.^t aisé de voir que, quel que soit le sens dans lequel on suppose décrite cette droite, elle ne peut toucher les deux cycles donnés, d'après la déAnttion donnée du contact d*un cycle et d'une semi-droite.

Le point de rencontre P des deux tangentes communes est le centre de similitude des deux cycles.

Ce centre de similitude est unique ( ^ ).

(*] (Joe propotition démontrée précédemment peut, par lulie d« ccUo doflnition, s'énoncer de la façon suivante :

Étant donnés trois ejcleSt les trois centres de similitude de ces cjcles prit deux à deux sont en ligne droite.

300 GfiOMÉTRIE PLANE.

La distance AA', comprise sur l'une des tangentes commanes entre les points de contact avec les cycles, est la distance tangentielle des cycles; elle n*est déterminée qu*en valeur absolue, mais non en signe.

Le rayon d'un cycle sera regardé comme positif si ce cycle est décrit dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre, comme négatif dans le cas contraire.

Par suite, en désignant par T la distance tangentielle des deux cycles

Fig. 249.-

dont les centres sont 0 et 0', la^. 2491 montre immédiatement qu'en désignant par D la distance des centres, on a la relation

Cette formule détermine, dans tous les cas possibles, la distance tangentielle de deux cycles; en particulier, si nous considérons deux cycles opposés et si le rayon d'un de ces cycles est R, l'autre est — R ; d'ailleurs, la distance de leurs centres est nulle ; on a donc, dans ce cas.

Une semi-droite étant donnée, ainsi qu'un point P, le cycle qui a pour centre ce point et qui touche la semi-droite est bien déterminé; la distance du point P à la semi -droite est le rayon de ce cycle; elle est donc déterminée en grandeur et en signe.

Un point doit être considéré comme un cycle d'un rayon infiniment petit ; toutes les semi-droites passant par ce point doivent être considérées comme tangentes à ce cycle.

Étant données deux semi-droites quelconques, on peut construire une infinité de cycles qui leur soient tangents; les centres de ces cycles sont situés sur une même droite que Ton appellera la bissectrice des semidroites.

Si, le point P d'intersection des semi-droites restant fixe, l'angle que font ces semi-droites diminue indéfiniment en sorte qu'elles tendent toutes les deux à se confondre avec leur bissectrice, les rayons de tous les cycles inscrits diminuent indéfiniment et, à la limite, ces cycles se réduisent à des points, tandis que les doux semi-droites deviennent deux semi-droites opposées.

LIVEB III. — LBS FIGURES SEMBLABLES. 3oT

On voit ainsi que les cycles qui touchent deux semi-droites opposées sont les divers points de la droite qu'elles déterminent.

U résulte aussi de ce qui précède qu'un cycle assujetti à toucher trois semi-droites données est entièrement déterminé. Son centre est le point de rencontre des trois bissectrices des semi-droites prises deux à deux.

MÉTHODB DB TRANSFORMATION*

409. Considérons une droite fixe Q ; traçons dans le plan un cycle quelconque K ayant pour contre le point 0 et, sur la perpendiculaire abaissée du point 0 sur la droite Û, prenons un point arbitraire P (^g. 249s).

Cela posé, à chaque semi-droite NM du plan, on peut faire correspondre une autre semi-droite do la façon suivante. Menons au cycle R la tangente AB parallèle à NM, joignons le point de contact A au point P, et, au

point A' où la droite ainsi obtenue rencontre le cycle, menons la tan» gente A' F; menons enfin, par le point M où la semi-droite donnée coupe la droite fixe n, une semi-droite N'M parallèle à A'B'.

N'M correspond ainsi à NM, et il est clair, en examinant les construc- (ions effectuées, que NM correspond réciproquement à N'M; on dit que ces doux semi-droites sont réciproques.

U résulte évidemment de ce qui précède que :

I* Deux semi-droites réciproques se coupent sur la droite Ci que l'on appelle Vaxe de transformation ;

a* Des semi-droites parallèles ont pour réciproques des semi-droites parallèles.

Si, du point P, on mène des tangentes au cycle K, on voit que les semi-droites parallèles à ces tangentes sont leurs réciproques à ellesmêmes. Il y a donc deux séries do semi-droites parallèles qui se transforment en elles-mêmes; ces semi-droites font des angles égaux avec Taxe de iransformalîon. Il est toutefois à remarquer que ces semi-droites ne sont réelles que si le point P est extérieur au cycle K.

So2 GÉOMÉTRIE PLAMB.

THÉORÈME

410. Deux couples quelconques de semi-droites réciproques sont tan* gents à un même cycle.

Soient, en effet, n Taxe de transformation, NM et MN' deux semidroites réciproques, RS une semi-droite quelconque du plan (Jig, 2493).

Construisons le cycle K qui touche les semi-droites NM, MN' et RS; menons la droite NN' qui joint les points de contact de NM et de MN', et désignons par P le point où cette droite coupe la perpendiculaire abaissée

du point 0 sur l'axe û.' Il est clair, d'après ce qui précède, que la transformation, qui a pour axe û et dans laquelle NM correspond à MN', peut être définie au moyen du cycle R et du point P. Si, maintenant, on remarq[ue que P est le pôle de la droite O relativement au cycle K, on voit que la tangente S'R est la réciproque de RS; les deux couples de semidroites réciproques NM etMN', RS et S'R sont deux tangentes au cycle K, ce qui démontre la proposition énoncée.

La transformation par semi-droites réciproques est ainsi caractérisée par les deux propriétés suivantes :

Deux semi'droites réciproques se coupent sur l'axe de transformation ; deux couples de semi-droites réciproques sont tangents àun même cycle i})»

Il est clair que la transformation est entièrement définie quand on se donne l'axe de transformation et deux semi-droites réciproques D et D'. Pour obtenir la réciproque d'une semi-droite quelconque À, que Ton construise le cycle tangent à D, D' et À, et que, par le point M où A coupe Taxe de transformation, on mène la deuxième tangente au cycle, cette tangente sera la semi-droite cherchée.

(') La transformation par rayons vecteurs réciproques est également caractérisée par les deux propriétés suivantes :

Deux points réciproques sont situés sur une droite passant par le pâle de transformation ;

Deux couples de points réciproques sont situés sur un même eerch.

LITRE III. — LES nGURES SEMBLABLES. 3o3

Considérons une courbe K comme l'enveloppe d'une semi-droite mobile A, la réciproque A' de A enveloppera une courbe K' qu'on appelle la transformée de la courbe K.

THÉORÈME

4H. Quand on effectue une transformation par semi^droites réci^ proques, un cycle a pour tnmsformé un autre cycle.

Soit ft Taxe de transformation, et considérons un cycle quelconque K coupant l'axe aux points A et B. Menons à ce cycle des tangentes MN et

N'M' parallèles à la direction des semi-droites qui, dans la transformation, sont leurs réciproques à elles-mêmes, et désignons par P le point de rencontre de ces droites C/%'-'^49*)-

Cela posé, construisons le second cycle R' qui, passant par les points A et B, touche les semi-droites PM et MT; je dis que le cycle K' est le transformé de K.

On voit en effet que la transformation est déGnie par Taxe û, le cycle K et le point P.

Par le point P, menons une sécante quelconque coupant le cycle K' au point a et le cycle K aux points ^ et 7. On sait que les tangentes menées en a et 7 se coupent en un point T de l'axe radical n des deux cycles ; d'ailleurs, la tangente ^^ au point p est parallèle à aT; il résulte donc de ta définition donnée plus haut que aT et T7 sont deux demi-droites réciproques. L'enveloppe des réciproques des semi-droites qui enveloppent K est donc le cercle K'; ce qu'il fallait démontrer.

On voit ainsi qu'un cycle R a pour réciproque un cycle R'. La relation qui existe entre deux cycles réciproques est caractérisée par les deux propriétés suivantes :

1° Leur axe radical est l'axe de transformation.

3o6 GfiOMÊTRIK PLAIDE.

perpendiculaire à l'axe, il est clair que l'on a

r« = p^ -h (D'— d'Y - (R'- ry.

Or les formules énoncées plus haut donnent aisément

Substituant ces valeurs dans l'expression précédente, il viendra, toutes réductions faites,

r* = /?*-h(D — e/)«- (R — r)»=T«; ce qui démontre la proposition énoncée (M*