AH = AD' 4- EH

le rectangle AGBH est égal à la somme des deux autres; car, si Ton prend sur AH une longueur AD égale à A'D% et qu*on

Fî|;. 25o.

fi-

mène la parallèle DC i AB, DH sera égale à E'H', en vertu de rhypothèse. Par suite, des deux rectangles ABCD, DCGH, qui composent le rectangle ABGH, le premier sera égal au rectangle A'B'C'D', et le second au rectangle E'F'G'H' (i»).

COHOLLAIRES.

418. Le rapport de deux rectangles de même base est égal au rapport de leurs hauteurs; en d'autres termes, l'aire d'un rectangle de base constante est proportionnelle à sa hauteur.

Car le théorème précédent prouve qu*un rectangle de base constante et sa hauteur satisfont aux conditions nécessaires et suffisantes (Note I) pour qu'il y ait proportionnalité entre ces grandeurs.

Comme on peut échanger la base et la hauteur d'un rectangle (416), on peut dire aussi que le rapport de deux rectangles de même hauteur est égal au rapport de leurs bases.

En rapprochant les deux derniers énoncés, on peut dire que l'aire d'un rectangle est à la fois proportionnelle à sa base et à sa hauteur.

Donc (Note l), le rapport des aires de deux rectangles quel-conques est égal au produit des rapports de leurs bases et de leurs hauteurs; en d'autres termes, deux rectangles quelconques sont entre eux comme les produits respectifs de leur base par leur hauteur.

LIVAB IV. — LES AIRES. 3l1

THÉORÈME

419. L'aire d'un rectangle a pour mesure le produit du nombre qui mesure sa base par le nombre qui mesure sa hau^ teur, lorsque l'on prend pour unité d'aire le carré construit

sur l* unité de longueur.

En effet, soient {fg. aSo) ABGH le rectangle à mesurer, et A'B'C'D' le carré dont le côté A'B' = A'D' représente l'unité de longueur. On aura (418)

ABGH AB AH

Or, le premier membre de cette relation est égal au nombre qui mesure Faire ABGH (Notel), et les rapports qui composent le second membre sont respectivement égaux aux nombres qui mesurent la base et la hauteur du rectangle proposé. Donc, dans le système d'unités adopté, le nombre qui mesure l'aire du rectangle est égal au produit des nombres qui mesurent sa base et sa hauteur. Ainsi, en désignant ces trois nombres par S, B, H, on a la formule

Comme ce théorème est d'un usage très-fréquent, on préfère renoncer d'une manière plus rapide, quoique incorrecte, en disant simplement : L'aire du rectangle est égale au produit de sa base par sa hauteur.

SCOLIB.

420. L'aire d'un rectangle est encore égale au produit de sa base par sa hauteur, lorsqu'on prend pour unité d'aire le rectangle ayant pour .base la longueur prise pour unité de base, et pour hauteur la longueur prise pour unité de hauteur»

421. L'aire d'un carré est égale au carré de son côté; de là, le nom de carré donné à la seconde puissance d'un nombre.