LIVRE IV. — LES AIRES. 3l

1*" La proposition du ix* 239 donne

bc = aR//, d'où abc = aR^/i = 4Î^-S, dt, par suite,

Ainsi , i'aire (Vun triangle est égale au produit des trois calés divisé par quatre fois le rayon du cercle circonscrit*

a* En joignant aux trois sommets Â, B, C, le centre 0 du cercle inscrit, on voit {fig, a53 ) que

ABC = OBC-t-OCA-+-OAB.

Et, comme les triangles indiqués dans le second membre ont respect!-

Fig. a53.

vement pour bases a, 6, <?, et pour hauteur commune le rayon r du cercle

inscrit , on a

^ ar br cr a->r b-\-c

ou

(a) S = pr.

V En joignant aux trois sommets le centre 0' du cercle ex-inscrit situé dans Tangle A, on voit que

ABC = 0'CA-fO'AB-0'BC

ou

„ br' cr ar* b-\-c—a , ao — aa , a = 1- — — — = • r = — ^-^— • r ,

c'est-à-dire

On trouverait de même

3j6 géométrie plakb.

Les formules (2), (3), (4), (5), donnent de nouvelles expressions de l'aire d'un triangle.

4** Les formules (1), (2), (3), (4), (5), permettraient inversement de calculer R, r, r', r', r*, en fonction des trois côtés, si Ton connaissait l'expression de Taire S en fonction de ces côtés.

Or, cette expression résulte immédiatement du calcul fait au n*" 229. On a trouvé» en effet,

d'où, en remarquant que S = - • /t,

(6) ^=Vp{p-a)[p-ù)Uj-^c).

On peut d'ailleurs établir cette formule géométriquement de la manière suivante {fg. 253).

£n multipliant les relations (2) et (3) membre à membre, on obtient

Les bissectrices OC et O'C des deux angles adjacents et supplémentaires BCA, BCQ, étant rectangulaires, les triangles OPC, O'QC, sont semblables comme ayant les côtés perpendiculaires , et Ton a