OP PP

^ = 5^ ou OP.O'Q = PC.C0.

Mais OP et O'Q sont respectivement égaux à r et à r', et, d'après le n"* 161, les longueurs PC et CQ sont respectivement égales bi p— b et

à p — c. On a donc

rr'=[p--b){p-c),

et, par suite, la relation qui représente le produit des équations (a) et (3)

devient

5** Enfin, en multipliant membre à membre les relations (a), (3), (4) et (5), on obtient

S* = /?(/? — fl) {/J — b) [p — cj.r.r'.r'.r", d'où résulte, eu égard à la formule (6), l'expression plus curieuse qu'utile

Application NUMiaiQUE. — Calculer Paire S et les rayons R, r, r\ r*/ r*, des cercles circonscrit, inscrit et ex-inscrits, relatifs au triangle qui a pour côtés

LIYRB IV. — IKS AIRES. 3lJ

On a d*abord

d'où

^ = 6, p -^ a = Zi p — ^ = a, /? — c — i.

Les formules (6), (i), (2], (3), (4), (5), donnent ensuite successivement

Le triangle considéré étant rectangle, puisque c' = «' -4- ^', il est facile de trouver directement les valeurs numériques que nous venons de déduire des formules générales.

429. Pour évaluer Taire d'un polygone, il suffit de décomposer ce polygone en triangles, de calculer les aires de ces triangles et de faire la somme des nombres ainsi obtenus.

Pour opérer cette décomposition, on peut choisir un point quelconque dans le plan du polygone et le joindre à tous ses sommets. Les bases des différents triangles formés seront les côtés du polygone, leurs hauteurs seront les perpendiculaires abaissées du point choisi sur ces côtés. Uaire du polygone sera la somme arithmétique ou algébrique des aires des triangles obtenus, suivant que leur sommet commun sera intérieur ou extérieur au polygone.

Souvent, on fait la décomposition en prenant pour centre Tun des sommets du polygone, c'est-à-dire en menant toutes les diagonales qui partent d*un même sommet.

430. Si Ton peut trouver dans l'intérieur du polygone un point à égale distance de tous ses côtés, c'est-à-dire si le polygone est circonscriptible, les triangles qui le composent ont pour hauteur commune le rayon du cercle inscrit, et son aire a pour mesure la moitié du produit de son périmètre par le nijron du cercle inscrit.

THÉORÈME

431. L'aire d'un trapèze a pour mesure le produit de ta demi-somme de ses bases par sa hauteur.

3j8 géométrie plane.

Soit le trapèze ABCD {fig. 254). En menant la diagonale BC. on le partage en deux triangles ABC, BCD, qui ont pour hau-

Fig. 354*

leur commune la hauteur EF du trapèze, et pour bases respectives les bases même du trapèze. L'aire du premier est

égale à — • EF, celle du second à — • EF. En ajoutant ces

deux expressions, on trouve, pour l'aire du trapèze,

SCOLIES

432. En désignant par S, B, 6, H, les nombres qui mesurent respectivement l'aire d'un trapèze, ses deux bases et sa hauteur, on a la formule

433. Menons par le point G [Jig. 254)9 milieu du côté AC, une parallèle GH aux deux bases du trapèze. Cette parallèle coupera le côté BD et la diagonale BC en leurs milieux H et L (182). On aura donc

^. AB -„ CD . , . ,. ru ABh-CD

• GL = — > LH = — > cest-a-dire GH = •

La droite qui joint les milieux des côtés non parallèles d'un trapèze est donc égale à la demi*somme de ses bases, et Ton peut dire par suite que l'aire d'un trapèze est égale au produit de sa hauteur par la droite qui joint les milieux de ses ^ côtés non parallèles*

Exemple. — Lune des hases d'un trapèze égale 10 mètres^ sa hauteur est de 4 mètres, sa surface de 82 mètres carrés. On

LITRE IV. — LES AIRES. 3ig

demande de calculer la longueur de la parallèle aux deux bases, menée à i mètre de distance de la base donnée.

En divisant la surface du trapèze par sa hauteur, on obtient 8 mètres pour la longueur de la droite qui joint les milieux de ses côtés non parallèles. Si Ton remarque maintenant que celte droite divise le trapèze proposé en deux autres trapèzes de hauteur égale à 2 mètres, on voit que, dans l'un de ces trapèzes, la droite dont on cherche la longueur est aussi celle qui joint les milieux des côtés non parallèles. Elle est