LIVRE IV. — LES AIRES

4^2. Enfîn, on peui encore déduire le même théorème de celui du n"* 22k. Car, puisque Faire du carré construit sur une droite a pour mesure le carré du nombre abstrait qui mesure la longueur de cette droite, on voit que le théorème du n" 22& exprime que la mesure du carré construit sur l'hypoténuse est égale à la somme des mesures des carrés construits sur les côtés de l'angle droit, et, par suite, que le premier carré équivaut à la somme des deux autres. Inversement, on passerait du point de vue concret au point de vue abstrait, c'est-à-dire du n^ 438 au n° 224, en remplaçant les aires des carrés par leurs mesures respectives.

La même remarque s'applique aux diverses relations numériques que nous avons démontrées dans le § IV du Livre III, entre les divers éléments d'un triangle rapportés à une unité commune. De ces relations, résultent immédiatement autant de théorèmes sur les aires, et Ton pourrait inversement donner des démonstrations directes de ces derniers théorèmes et en déduire ensuite les relations numériques correspondantes.

§ ni. - AIRES DU POLYGONE RÉGDLffiR ET DU CERaE.

DEFINITIONS

443. Un secteur circulaire est la portion de cercle comprise entre un arc ACDB et les rayons OA, OB, menés aux extrémités de cet arc (Jig. 260).

Mn secteur polygonal régulier es\ la portion de plan comprise entre une ligne brisée régulière ACDB et les rayons OA, OB, menés du centre 0 de cotte ligne (208) à ses extrémités. En divisant en un nombre quelconque de parties égales Tare

320 CÊOBIÉTRIK PLANE.

AB du secteur circulaire OAB el joignant les points de division, on obtient un secteur polygonal régulier OACDB inscrit dans le secteur circulaire.

THÉORÈME

44 V. L'aire d*un polygone régulier a pour mesure le pro- (luit de son périmètre par la moitié de l'apothème {^g, 261).

En effet, en joignantlecentreO du polygone régulîerABCDEF à tous ses sommets, on décompose ce polygone en triangles OAB, OBC,. . ., OFA, qui ont respectivement pour bases les côtés AB,BC,.. ., FA, et pour hauteur commune TapothèmeOG. La somme des aires de ces triangles, c'est-à-dire Taire du polygone, a donc pour mesure le produit de la somme des côtés AB, BC,. . ., FA, par la moitié de l'apothème OG, c'est-à-dire le produit du périmètre par la moitié de l'apothème.

En désignant par S, /?, rz. Taire, le périmètre et Tapothème du polygone proposé, on a donc la formule

S= -pa.

Corollaire.

445. Le rapport des aires de deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés est égal au rapport des carrés de leurs apothèmes ou de leurs rayons.

En effet, soient /?, a, r, le périmètre, Tapothème et le rayon du premier polygone, et /?', a\ r', le périmètre, Tapothème et le rayon du second. En vertu du théorème précédent, le rapport des aires est égal à

i£l ou à t.l.