LIVRE IV. — LES AIRES
D'ailleurs, on a (269)
Le rapport des aires est donc égal à
— ou a -y;-
Celle proposition résulte encore de ce que deux polygones réguliers d'un même nombre de côtés sont semblables (269), et de ce que les aires de deux polygones semblables sont eittre elles comme les carrés de leurs droites homologues (435,211).
SCOLIB.
446. Par un raisonnement analogue à celui du n<^ 444, on prouverait que l'aire d'un secteur poljrgonal régulier OXCDB {Jig. 260 ) a pour mesure le produit du périmètre de la ligne brisée régulière ACDB par la moitié de l'apothème 01.
4i7. Soil OAB un secteur' circulaire (Jîg. a6o). En parlagcant Tare AB on un nombre quelconque n de parties égales et menant des tangentes par les milieux des divisions ainsi obtenues, on forme deux secteurs polygonaux réguliers OACDB, OÀ'G'D'B', semblables, l*un inscrit et Tautro circonscrit au secteur circulaire OAB. Si Ton désigne par a eip l'apothème et le périmètre de la ligne brisée régulière ACDB, et par é/ et // Tapothème et le périmètre de la ligne brisée régulière A'C'D'B', le
rapport des aires des deux secteurs polygonaux sera —,•-;• D'ailleurs,
il résulte du n*201 que, lorsqu'on fait croître n indéfiniment suivant uno^
loi quelconque, les rapports^,) -;) ont pour limite l'unité. Donc, il en est
do même du rapport —-7) et par suite, à fortiori, du rapport du secteur
circulaire à chacun des deux secteurs polygonaux qui le comprennent. Donc:
L*aire d'un secteur circulaire est la limite commune des aires des secteurs polygonaux réguliers semblables inscrit et circonscrit, lorsqtûon fait croùre indéfiniment le nombre des côtés de la ligne brisée inscrite.
El, do même, raire d*un cercle est la limite commune des aires des polygones réguliers semblables inscrit et circonscrit, dont on fait croître indé* finimcnt le nombre des côtés.
GÊOMÉTR» PLANS.
Il importe de remarquer q ne ces deux énoncés sont de véritables r/w*orèmes, tandis que les énoncés analogues (i91 ) sur la longueur de I*arc et de la circonférence ne sont que des définitions,
THÉOBÈME.
W8. Uaire d^un cercle a pour mesure le produit de sa r/rconférence par la moitié du rayon.
L'aire du cercle est la limite des aires des polygones réguliers inscrits dont le nombre des côtés croit indéfiniment. D*après cela, soient S, C, R, Taire, la circonférence, le rayon du cercle considéré, et s, p, a. Taire, le périmètre et Tapothème d*un polygone régulier inscrit dans ce cercle. On a ( kkk)
Lorsqu'on fait crottre indéfiniment le nombre des côtés du polygone régulier inscrit, s tend vers S, p vers C et a vers R. On a donc, à la limite,
Corollaires.
449. En remplaçant dans la relation précédente la circonfcrence C par sa valeur
(2) C = 27rR, on obtient la nouvelle formule
(3) S = 7rR%
qui montre :
I** Que, pour calculer l'aire d'un cercle de rayon donné, il faut multiplier par t: le carré du rayon;
2" Que, pour calculer le rayon d'un cercle d*aire donnée^ il
faut multiplier par- ou diviser par tt le nombre qui exprime
cette aire, et extraire la racine carrée du résultat.
LIVM IV. — tES AIBBS. 339
iSO. Si, au lieu d'éliminer C entre les relations (i) et (2], on élimine R, on trouve la formule
qui permet de calculer directement la surface, connaissant la circonférence, ou la circonférence, connaissant la surface. Cette formule est beaucoup moins usuelle que les précédentes.
