LIVRE IV. — LES AIRES

PROBLÈME

4^66. Deux figures semblables étant données, construire une figure semblable égale à leur somme ou à leur différence.

S'il s'agil de deux carrés dont les côlés soient a et i(a>6), le côté X du carré égal à leur somme sera l'hypoténuse du triangle rectangle ayant pour côtés de l'angle droit a et 6; le côté jr du carré égal à leur différence sera le second côté de l'angle droit d'un triangle rectangle ayant a pour hypoténuse et b pour premier côté de l'angle droit (438).

S'il s'agit de deux polygones semblables A et B (A> B), dont deux côtés homologues quelconques soient a et 6, le côté homologue x du polygone semblable X = A+ B sera l'hypoténuse du triangle rectangle construit sur a et 6 comme côtés de l'angle droit; le côté homologue x ^u polygone semblable Y = A— Bsera le second côté de l'angle droit du triangle rectangle ayant a pour hypoténuse et b pour premier côté de l'angle droit (UO).

Dans le cas de deux cercles ayant R et R' pour rayons, il suffit de remplacer dans l'alinéa précédent a et 6 par R et R', pour trouver les rayons x tx jr des cercles égaux respectivement à la somme ou à la différence des deux cercles donnés.

4C7. Soit à construire une droite x liée à plusieurs longueurs données a» 6, c, d, e, par une expression de la forme

x = ^a^-^ b^— c'H- d'— tiK

On cherchera d'abord « = ^a^ h- 6' à l'aide d'un triangle rectangle ayant a et 6 pour côtés de l'angle droit: a sera l'hypoténuse de ce triangle; puis |3 r^ v^a' — c», à l'aide d'un triangle rectangle ayant a pour hypoténuse et c pour côté de l'apgle droit; ^ sera le second côté de ce triangle. De môme, on cherchera y -- v^jâ'4- rf' et X = v^y'— e', par deux autres triangles rectangles ayant, le premier ^ et rf pour côlés de l'angle droit, le second y et e pour hypoténuse et côté de l'angle droit : X sera le second côté de ce dernier triangle.

R. el Dt; C. — rr, ae Geom, ( I" Partie). 22

SCOLIE

468. 11 résulte du dernier alinéa du xi^ 466 que si, sur les trois côtés d'un triangle rectangle ABC [Jig. 266) comme diamètres, on décrit des demi-cercles, le demi-cercle décrit sur

Fig. 266.

rhypoténuse sera équivalent à la somme des demi- cercles décrits sur les côtés de l'angle droit. En enlevant de part et d'autre les parties communes ApB, AqC, qui sont ombrées sur la figure» on voit que la somme des deux lunules AmBpA^ AnCqAy est équivalente à l'aire du triangle rectangle ABC. Cette proposition est attribuée à Hippocraie.

PROBLÈME

469. Construire un polygone semblable à un polygone donné, et dont l'aire soit à celle de ce polygone dans le rapport de deux droites données M e/ N [fig- 267).

Fîg. 267.

Supposons d'abord que le polygone donné soit un carré, et soit A son côté. Si X est le côté du carré cherché, on devra avoir (435)

La question est donc de construire un triangle rectangle tel,

UYBRB IV. — LES Aiass. 339

que le rapport des segments déterminés sur l'hypoténuse par la perpendiculaire abaissée du sommet de Tangle droit soit

égal à rrr (4^39), et que le côté adjacent au segment qui correspond à N soit égal à A.

Or» en portant sur une droite indéfinie BC = M, CD = N, en décrivant une demi-circonférence sur BD comme diamètre» et en menant à 61) la perpendiculaire CE jusqu'à la rencontre de cette demi-circonférence, on obtiendra un triangle rectangle BED dans lequel les segments de l'hypoténuse présenteront le rapport demandé. 11 en sera de même (213) pour tous les triangles rectangles semblables qu'on formera en menant entre les côtés de l'angle droit BED, prolongés ou non, une parallèle à l'hypoténuse BD. Parmi tous ces triangles» celui dont le côté» dirigé suivant ED» est égal à A» répond à la question.

On portera donc sur ED la longueur EG = A; par le point G, on mènera à BD la parallèle GF jusqu'à la rencontre de EB, et FE représentera le côté du carré cherché. On a» en effet»

Êf' F h BC Êf' m

1 VUl t''t\ ^^

£Q* HG""CD A» N

(70. Soit maintennnt un polygone quelconque P» soient p l'un de ses côtés et a: le côié homologue du polygone cherché X. On devra avoir, d'après l'énoncé.

d'où

ei p

Le problème se trouve donc ramené à trouver le côté d'un carré qui soit à un carré donné dans le rapport de deux droites données» question que nous venons de résoudre. Quand on \ aura obtenu le côté x homologue de p, il restera à construire sur ce côté un polygone semblable au polygone P.

34o GÉOMÉTRIE PLANB.

V2i, Dans le cas de deux cercles, en désignanl par x ei r leurs rayons, on devra avoir

Tir» N r^ N

Cest encore le même problènoe.

&72. Si le rapport -j^ élait donné numériquement et égal,

par exemple, à -< on choisirait une certaine longueur pour

uniié, et Ton rentrerait dans le cas précédent en prenant les droites DC et CD égales à cinq fois et à sept fois cette longueur.

473. On peut aussi, dans ce cas, opérer de la manière suivante. Soit

— = -. Sur KH. côté du carré donné, comme diamètre {Jî§. 268), décrivez une demi-circonférence. Divisez KH au point I dans le rapport do

Fig. 268

Fig. 269.

5à2 = 7 — 5, et menez à RH la perpendiculaire IL. La droite KL sera

le côté du carré cherché (439).

Si le rapport r^ est plus grand que i et égal à ^ 9 par exemple, divisez

le côté donné KH {^g. 269), au point I, dans le rapport de 7 à a = 7 — 5. Décrivez sur Kl comme diamètre une demi-circonférence, et menez au point H à Kl la perpendiculaire HL. La droite KL sera le côté du carré cherché (223).

LITIB !▼. — LES AIRES.