FORMULE DE SIMPSON
474. Soit à évaluer approximativement Taire comprise entre un arc de courbe quelconque AB, une droite fixe XY et les perpendiculaires AA', BB' abaissées sur cette droite par les extrémités de l'arc AB.
Nous supposerons d'ailleurs que l'arc AB soit, dans toute son étendue, concave vers la droite XY, sans quoi on le décomposerait en plusieurs parties, et l'on évaluerait séparément Taire correspondante à chaque partie.
Divisons la base A'B' en un nombre pair de parties égales, en dix par exemple, et par les points de division C, D', E', F', G', 11', 1', K', L', élo-
Fîj. a;o.
vons des perpendiculaires à XY. Désignons respectivement par r^yu >s» . • • »/iii les perpendiculaires ou ordonnées AA',CC,DD', . . ., BB', et par h la distanco constante de deux ordonnées consécutives.
Soit m la somme des aires des trapèzes inscrits compris entre les ordonnées successives. A l'extrémité de chaque ordonnée de rang pair, menons la tangente en la limitant aux deux ordonnées qui comprennent celle que Ton considère; nous formerons ainsi une suite de trapèzes circonscrits compris entre les ordonnées successives de rang impair; représentons par &1 la somme de ces trapèzes circonscrits.
L'aire cherchée est évidemment comprise entre /w et M, et si Ton prend pour valeur approchée de cette aire une quantité S comprise entre m et M, Terreur correspondante sera moindre que la plus grande des différences M — S, S — m.
La méthode de Simpson consiste à prendre S « w -+- ^ (M — m);
Terreur est donc alors moindre que r (M — m)
34a GÉOMfiTRlB PLANE.
Or, si Ton désigne par P la somme des ordonnées de rang pair et par 1 la somme des ordonnées de rang impair autres q\iQ les extrêmes, augmentée de la demi-somme de ces ordonnées extrêmes, on a
M = a/«jj -h 2/1J4-H. . .-H a/i/10 = a/'P,
et, par suite,
Il en résulte, pour la valeur approchée de Taire, S = /ifP-t-lH — ~ \
avec une erreur moindre que a/i. — ^— •
Cette démonstration fort simple nous a été communiquée par M. Mantion.
FORMULE DE PONGELET.
La base A'fi' doit ici encore être partagée en un nombre pair de parties égales, dix par exemple (fg. ayi). Nous désignerons les onze ordonnées correspondantes par^i,/2, /j, . . . jio,/ii- Parles extrémités de
Fig. 271.
toutes les ordonnées de rang pair Xtyfki • • • )/iO} menons des tangentes à la courbe ÂB, et terminons ces tangentes aux deux ordonnées voisines. Nous formerons ainsi une série de trapèzes dont la somme, évidemment supérieure à l'aire cherchée dans le cas de la figure, sera une limite supérieure du résultat demandé.
Enappelant h l'intervalle constant entredeux ordonnées consécutives, on a
trapèze AD'= a/z./^i, trapèze DF = 2/1./4,
trapèze KB'= a/i.^io- En désignant par S la somme de ces trapèzes, il vient
S= 2/i(jî-+-j4-H...-hJio) :
