PO.PN.QN

est moindre quo

THÉORÈME

476. La différence entre un arc de cercle ABA' moindre qtiune demicirconférence et sa corde A A' est plus petite que le cube de l'arc divisé par a4 fois le carré du rayon [Jig, 272).

Désignons par a l'arc ABA', par c sa corde AA' et en général par c.

la corde de l'arc -r»

B étant le milieu de l'arc ABA', Taire du segment ADB a pour mesure (457 )

a \a ay

ou 7(<î — c),

346 GÉOMÉTRIE TLAKE.

D'autre part, si l'on prend le milieu D de Tare AB, puis les milieux E et E, des arcs ÂD et DB, et ainsi de suite, et si l'on désigne respectivement par /, , ^2* . . . , les aires des triangles ÂDB, AED, . . . , l'aire du segment sera la limite de la somme

/, -H a/, -f- 2V3 -h . . . -f- a"-' /^ -H . . . . Donc, comme, d'après le lemme précédent (475), on a

16R \aV '

on aura aussi

ou

c'est-à-dire

« - ^ < ÔTSI

ou enfin

Pour présenter une application de cette formule, cherchons, par exemple, quel doit être le rayon R dUin cercle pour que la différence entre un are de 60 mètres et sa corde n'atteigne pas i millimètre.

11 suffit, d'après la formule (1), que R satisfasse à l'inégalité

24 R' ~ *ooo

ou R > 3ooo

Le rayon du cercle devra donc être au moins égal à 3 kilomètres. Remarque, — La formule (1) répond à la formule trigonométrîqu^

connue

(2) • X — sinx < —•

En effet, si Ton suppose R = i et /? = 2x, on a

f = 2 sinx,