EG = ED, FG = BD, EF = EB

Tinégalité précédente ne diiïère donc pas de

AD-i-DB ou ACH-CB<AF-hFC-hCB,

c'est-à-dire de l'inégalité

AC<AF-4-FC, qui est évidente.

479. Réciproquement, entre tous les triangles de même base et de même aire^ le triangle isocèle 0 a le périmètre minimum.

En effet , soit U un triangle non isocèle ayant la même base et la même aire que G, et G, un triangle isocèle ayant la même base et le même périmètre que U; d'après le théorème précédent. G, sera plus grand que U, c'est-à-dire que G ; or, de deux triangles isocèles construits sur la même base, celui qui a l'aire la plus grande a le périmètre le plus grand ; donc le périmètre de G„ c'est-à-dire le périmètre de U, est plus grand que celui de G.

Nous supprimerons dans ce qui suit les démonstrations das réciproques; ces démonstrations seraient toutes analogues à la précédente.

Corollaire.

480. Entre tous les triangles de même périmètre, le triangle équilatéral est un maximum; car le triangle maximum correspondant au périmètre donné doit être isocèle , quel que soit celui de ses côtés que l'on prenne pour base.

Réciproquement, entre tous les triangles équivalents, le triangle équilatéral a le plus petit périmètre.

THÉORÈME

481. Entre tous les triangles construits avec deux côtés, celui dtms lequel ces deux côtés sont à angle droit est un maximum.

En effet, si l'on prend l'un des côtés donnés pour base, la hauteur est moindre que l'autre côté donné, à moins que ce second côté ne soit perpendiculaire au premier; dans cette position, la hauteur est maximum, et par suite l'aire Test aussi.

Corollaire.

482. Entre tous les triangles dont la somme de deux côtés est donnée, celui dans lequel ces deux côtés sont à la fois égaux et à angle droit est un maximum.

LIYRB lY. — LES AIRES. 349

En efiTet, que Ton répartisse comme on voudra la somme donnée sur les deux côtés, le triangle maximum sera toujours celui dans lequel ces deux côtés seront perpendiculaires entre eux; il ne reste donc plus qu*à comparer les triangles rectangles dont la somme dos côtés de l'angle droit est constante. Considérons un de ces triangles rectangles P et sur sou hypoténuse construisons un triangle isocèle Q dont les côtés égaux aient la même somme que les côtés de Tangle droit de P; enfin, désignons par R le triangle isocèle dont les côtés égaux auraient la môme longueur que ceux de Q et seraient de plus à angle droit; on aura, par ce qui précède, P < Q et Q < R ; il en résulte donc R > P.

THÉORÈME

483. Entre toutes les figures planes isopérimètres, le cercle est un maximum (fig. ^74).

L'aire d'une figure de périmètre donné peut évidemment devenir aussi petite qu'on veut; mais elle ne peut grandir indéfiniment, puisque cette figure reste forcément comprise dans Tintéricur du cercle décrit d'un point de son contour comme centre avec un rayon égal à la moitié du périmètre donné. Entre toutes les figures planes isopérimètres, il y a donc une figure maximum, ou plusieurs figures maximums do différentes formes et de même aire.

Fig. 374.

D'ailleurs, toute figure maximum de périmètre donné est convexe, sans quoi on pourrait agrandir son aire sans changer la longueur de son contour.

Cela posé, soit EFGH une figure maximum ayant le périmètre donné. A tout point A pris à volonté sur son contour répond un autre point B de ce contour, tel que la droite AB divise le périmètre en deux parties égales. Les aires AEFB, AllGB, devront être égales, sans quoi, en remplaçant la plus petite d'entre elles par la fi:^ure symétrique par rapport à AB, on obtiendrait une figure totale de même périmètre que la première et d'aire plus granJe, de sorte que la première figure ne serait pas un maximum comme on l'a supposé.

Il résulte de là que, si dans une figure maximum EFGH de périmètre donné on remplace la partie au-dessous de AB par une partie symétrique

35o GfiOMeTRIE PLANE.

de celle qui est au-dessus de cette droite, la nouvelle 6gure totale sera encore une des figures maximums.

Raisonnons actuellement sur cette nouvelle figure; en d'autres termes, admettons que la partie ÂHGB soit symétrique do AEFB par rapport à Afi. Soit C un point quelconque du contour AEFB ; prenons son symétrique D par rapport à AB et menons CA, AD, DB, BC. L*angle ACB sera droit; car si les angles ACB, ADB, n'étaient pas droits, on pourrait construire avec les mômes côtés CA, AD, DB, BC, un quadrilatère a'^pS dans lequel les angles 7 et ^ seraient droits ; ce nouveau quadrilatère serait plus grand que Tancien (48i ), et en plaçant respectivement sur les côtés 07, 7^, Sp, aS, les segments AEC, CFB, BGD, DHA, qui sont actuellement sur CA, BC, DB, AD, on aurait une figure totale ayant le même périmètre que AECFBGDHA et une aire plus grande, de sorte que cette figure AECFBGDd ne serait pas un maximum comme on Ta supposé. Donc, de tout point C du contour AECFB, on voit la droite AB sous un angle droit; par suite, ce contour est le demi-cercle décrit sur AB comme diamètre.

Ainsi, si une figure de périmètre donné est maximum, sa moitié ACB, prise à pariir d'un point quelconque A de son contour, est un demi-cercle. La figure totale est donc un cercle.

Donc, enfin, il n*y a qu*une seule figure maximum de périmètre donné, et cette figure est un cercle.

Steiner donne à ce théorème le nom de théorème principal, parce que sa démonstration renferme les principes les plus essentiels relatifs à la plupart des questions de maximums dans les figures planes (ou sphériques).

THÉORÈME

484. 1® *Sï le périmètre d'une figure se compose d'une droite de lon^ gueur arbitraire l et tVune ligne de forme arbitraire L, et si en même temps la longueur de la ligne L ou l'aire de la figure est donnée, celle-ci est un maximum ou la ligne L est un minimum, quand cette figure est un demi-cercle.

Toute figure comprise dans ce théorème peut ôtre considérée comme la moitié d'une figure symétrique, dont la droite / est Taxe de symétrie, et dont le périmètre, égal à 2L, est donné; mais l'aire de la moitié est nécessairement un maximum, dès que la figure entière en est un. L'énoncé est donc une conséquence du théorème principal. Il s'ensuit en particulier : qii'entre tous les segments de cercle à arcs égaux ou h aires égales, (?est le demi-cercle qui a l'aire la plus grande ou l'arc le plus petit,

a® Entre toutes les figures dont le périmètre est composé d'une droite donnée a et d'une ligne prisé à volonté L, le segment de cercle a la plus grande aire pour des longueurs égales de la ligne L, et la plus petite ligne L quand les aires sont égales.

LlvaiC lY. — LfiS AIftES. 35 1

Supposons la ligne L de forme quelconque, et qu'elle compose avec la droite a le périmètre de la figure ^L; on peut toujours construire sur a un segment de cercle dont l'arc a soit égal à L, a et L élant situés du même côlé de a. Complétons le cercle, et désignons l'autre arc par p ; alors le cercle de périmètre a + p est plus grand que la figure limitée par L -+- p ; ainsi «a -h ^p > «L -4- a^ ; donc «a > aL,

On déduit de ce théorème cette règle générale :

Dans toute Jîgure dont l'aire doit être un maximum sous des conditions quelconques f chaque partie du périmètre, qui est libre d*avoir une Jorme qtielconque entre deux points donnés, doit être un arc de cercle.

THÉORÈME

485. 1® Un polygone de côtés donnés est maximum lorsqu'il est inscriptible au cercle.

Observons d'abord qu'on peut toujours, avec des côtés donnés a^ ù, c, . . . 1 /, dont le plus grand a est moindre que la somme de tous les autres^, former un polygone convexe inscriptible, ei un seul. En eflct, décrivons un premier cercle 0 assez grand pour que, en portant les unes à la suite des autres, à partir de l'un des points A de la circonférence, des cordes AB = n, BC = &,... , LM == /, l'extrémité M de la dernière corde n'atteigne pas le point A. Le centre 0 étant d'abord situé dans le segment BCMA au-dessus de AB, supposons que ce centre s'abaisse d'une manière continue en décrivant la droite OZ perpendiculaire sur le milieu de AB. L'arc BCMA de la circonférence variable qui a pour centre 0 et qui passe par A et B décroîtra, et comme il a pour limite la droite AB, c'est-à-dire une longueur moindre que ^ -^ c -♦-... h- /, on voit que l'extrémité M de la ligne brisée inscrite BC. . .M s'approchera du point A, et l'atteindra pour le dépasser ensuite. Il y aura donc une position du centre 0 et une seule, pour laquelle la ligne brisée ABC. . . M formera un polygone inscrit, comme nous l'avons annoncé.

Cela posé, soient S un cercle et P un polygone inscrit de côtés donnés </, 6, r,. .., /; P' élant un polygone quelconque formé avec les mêmes côtés, ajoutons à ce polygone P', sur chacun des côtés, les segments circulaires qui surmontent les côtés correspondants du polygone inscrit P. On obtient ainsi une figure S' terminée par des arcs circulaires, et dont le périmètre est égal à la circonférence du cercle S. On aura donc (483) S> SVd'où, en retranchant de part et d'autre les segments circulaires qui surmontent les côtés, P > P'.

a" Entre tous les polygones isopérimètres d'un même nombre de côtés, le polygone régulier est un maximum; et réciproquement, entre les périmètres de tous les polygones équivrdents d'un même nombre de côtés, celui du pol)'gone régulier est lui minimum»

35a GÉOMfiTRIB PLAKE.

En effet, le maximum parmi les polygones isopérimètres de n côtés doit d'abord avoir tous ses côtés égaux entre eux ; car si deux côtés consécutifs AB et BC étaient inégaux, en remplaçant le triangle ABC par un triangle isocèle AB'G construit sur la môme base et de même périmètre, on aurait (478) une figure isopérimètre de n côtés et d aire plus grande. Par suite, les côtés du polygone sont donnés et égaux chacun à la /t'''"' partie du périmètre ; de plus, en vertu de la première partie du théorème qui nous occupe, le polygone maximum doit être inscriptible au cercle: Donc, enfin, le polygone maximum, devant être à la fois équilatéral et inscriptible, est régulier.

COEOLLAIRE.

486. D*après cela, quand on cherchera quel polygone a Taire maximum pour un périmètre constant, ou le périmètre minimum pour une aire constante, le nombre des côtés étant variable, on n*aura qu'à s'occuper des polygones réguliers, et l'on trouvera la loi suivante :

Les aires des polygones réguliers isopérimètres forment une série croissante, qui commence par le triangle et se termine pqr le cercle; et les périmètres des polygones équivalents forment une série décroissante, h partir du triangle jusqu^au cercle.

En effet, deux polygones réguliers isopérimètres d'un nombre de côtés différents étant donnés, par exemple un pentagone ABCDE et un quadrilatère abcd^ on peut considérer ce dernier comme un pentagone dont Tun des côtés serait nul, ou bien, en prenant arbitrairement un point e sur un des côtés de ce quadrilatère, par exemple sur ad^ le considérer comme un pentagone abcde^ doiït l'un des angles e serait égal à deux angles droits; le quadrilatère régulier peut donc être regardé comme un pentagone irrégulier : donc son aire est plus petite que colle du pentagone régulier ABCDE.

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