LA LIGNE DROITE
§§ I, II, m. — Des angles.— Des triangles. — Des perpendictilaires
et des obliques.
1. Êtan t données quatre droites OA, OD, OC, OD, issues d*un même point 0, si les angles DOA, BOC, sont égaux entre eux, ainsi que les angles AOB» COD, les côtés OA et OC sont en ligne droite, ainsi que les côtés OB et OD.
2. Le périmètre d*un triangle est plus grand que la somme des droites qui joignent un point intérieur quelconque aux trois sommets, et moindre que le double de cette somme.
3. Une médiane quelconque d*un triangle est moindre que la demisomme des deux côtés issus du môme sommet, et plus grande que la moitié de lexcès de cette somme sur le troisième côté.
4. Le périmètre d'un triangle est plus grand que la somme de ses trois médianes et moindre que le double de cette somme.
5. ABC étant un triangle quelconque, on prend sur AB, prolongé 841 le faut, une longueur AC égale à AC; on prend de môme sur AC une longueur AB' égale à AB; on tire B'C qui coupe BC en I : démontrer que la droite AI est la bissectrice de Tangle BAC.
6. Si, d*un point A pris hors d'une droite XY, on mène sur cette droite la perpendiculaire AB et les obliques AC, AD, d'un môme côté, telles que 6G = CD, Tangle BAC est plus grand que l'angle CAD.
7. On dit que deux points A et A' sont symétriques par rapport à une «droite indéfinie XY, lorsque cette droite XY est perpendiculaire sur le
milieu de AA'. Démontrer d*après cette définition : i® que, si A' et B' sont les symétriques par rapport à XY de deux points quelconques A et B, les deux droites symétriques AB et A'B' sont égales entre elles; i^ que l'angle
R. et M C. — Tr. de Giom. (l« Partie). a3
354 GÊOMÉTntE PLANE.
CÂBde deux droites ÂB et AC est égal à Tangle C'A'B' de leurs symétriques A' B'ei A' C.
8. Par le sommet A d'un triangle ABC, on mène la droite indéfinie XY perpendiculaire sur la bissectrice de Tangle A. Démontrer que, si M est un point quelconque de XY, le périmètre du triangle BMC est plus grand que celui du triangle donné ABC.
9. Les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés d*un triangio concourent en un même point.
10. Les bissectrices des trois angles d'un triangle concourent en un même point. — La bissectrice de Tun des angles et les bissectrices des suppléments des deux autres angles concourent aussi en un même point.
§ IV. — Des parallèles.
il. Si deux droites égales AB et CD, comprises entre deux parallèles AC et BD se coupent en un point 0, on a AO = OC et OB = OD.
12. Si par le milieu D du côté AB d'un triangle ABC on mène une parallèle DE au côté BC, la droite DE passera par le milieu E de AC et sera égale à la moitié de BC. — Béciproquement, la droite qui joint les milieux de deux côtés d*un triangle est parallèle au troisième côté et égale à sa moitié.
13. Trouver le lieu des milieux des portions de droites qui vont d*un point donné à une droite donnée.
14. Étant donné un pointa Tintérieur ou à Textérieur d'un angle, mener entre les côtés de l'angle une droite qui soit divisée par ce point ou par l'un des côtés de l'angle en deux parties égales.
15. Un triangle quelconque est le quart de celui qu'on obtient en menant par chacun de ses sommets une parallèle* au côté opposé. Chaque côté du nouveau triangle est le double du côté correspondant du triangle donné.
16. Les trois hauteurs d'un triangle concourent en un même point
17. Déduire du résultat précédent un procédé pour mener par un point donné une droite qui aille passer par le point do concours, supposé inaccessible, de deux droites données.
18. Les trois médianes d'un triangle concourent en un même point, situé au tiers de chacune d'elles à partir du côté correspondant.
19. Dans un triangle, la plus petite médiane correspond au plus grand côté. — Conséquence.
£0. Dans un triangle, le point de concours des perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés, le point de concours des trois médianes et celui des trois hauteurs, sont en ligne droite, et la distance du premier point au second est moitié de la distance du second point au troisième.
21. Si, par le point d'intersection I des bissectrices des angles B et C d*un triangle ÂBC, on mène entre les côtés de Tangle  la parallèle DIE à BC, la droite DE sera égale à la somme de BD et de CE. Si, par le point d'intersection V de la bissectrice de Tangle B et de celle du supplément de l'angle G, on mène entre les côtés de Tangle A ou de son opposé par le sommet la parallèle DTE' à BC, la droite D'E' sera égale à la différence de BD' et de CE'. — Conséquences.
2i. Des extrémités A el B et du milieu C d'une droite AB, on mène dans une direction quelconque des droites parallèles AA', BB', CC, jusqu'à leur rencontre avec une droite indéfinie XY. Démontrer que le point C est le milieu de A'B', et que la parallèle CC est égale à la demi-somme ou à la demi-différence des parallèles AA' et BB', suivant que les points A et B sont situés d'un même côté ou de part et d'autre de XY.
S3. La somme des distances d*un point quelconque de la base d'un triangle isocèle aux deux autres côtés est constante. — Qu'arrive-t-il lorsque le point considéré est pris sur le prolongement de la base?
24. Trouver le lieu géométrique des points dont la somme ou la différence des distances à deux droites fixes est constamment égale à une longueur donnée.
25. La somme des distances d'un point pris à Tmlérieur d'un triangle équilatéral à ses trois côtés est constante. — Qu'arrivo-t-il lorsque le point considéré est extérieur au triangle ?
2G. AX étant une droite quelconque menée par le sommet A d'un triangle ABC, et BE, CF, étant les perpendiculaires a baissées des points B et G sur cette droite AX, démontrer que le milieu D de BC est à égale distance des points E et F.
27. Démontrer : i^que si deux angles ont leurs côtés respectivement parallèles, leurs bissectrices sont parallèles ou perpendiculaires entre elles; a^ que si deux angles ont leurs côtés respectivement perpendiculaires, leurs bissectrices sont perpendiculaires ou parallèles entre elles.
28. Déterminer sur l'un des côtés d'un triangle un point tel, que les ])ngueurs interceptées parles deux autres côtés sur les parallèles menées lie ce point à ces mêmes côtés soient égales entre elles.
29. Étant donnés deux points A et B et une droite XY, trouver sur cette droite un point M tel que la somme AM + BM soit un minimum.
30. Étant donnés deux points A et B et une droite XY, trouver sur cette droite un point M tel que la difTérence BM — ÂM soit un maximam.
31. Trouver sur un côté d*un triangle un point tel que la somme de ses distances aux deux autres côtés soit un minimum.
32. Trouver dans le plan d'un triangle un point tel que la somme de ses distances aux trois côtés soit un minimum.
§ V. — Somme des angles d'un polygone.
33. Étant donnés un triangle ÂBC et un point 0 pris dans son intérieur, démontrer que l'angle BOC est toujours plus grand que Tangle BÂC du triangle.
34. Un angle d*un triangle est droit, aigu ou obtus, suivant que la médiane issue du sommet de cet angle est égale, supérieure ou inférieure à la moitié du côté opposé. — Réciproques.
35. AD et BC étant deux parallèles coupées obliquement par AB et perpendiculairement par AC, on mène entre ces deux parallèles la droite BBD qui coupe AC en E, de manière que ED=:2AB : démontrer queTangle DBC est le tiers de Tangle ABC.
36. Si, d*un point A pris hors d*une droite XY, on mène sur cette droite la perpendiculaire AB et les obliques AC, AD, AE, de manière que ces obliques soient situées d'un même côté de AB et que les angles BAC, CAD, DAE, soient égaux, on a BC < CD < DE.
37. Soient un triangle ABC, et AO, BO, CO, les bissectrices de ses angles ; AO prolongée coupant le côlé BC en D, et 01 étant la perpendiculaire menée du point 0 sur BC, démontrer que Tangle BOD est égal à Tangle COL
38. L'angle formé par la bissectrice de l'angle A d*un triangle ABC et par la perpendiculaire menée du sommet A sur le côté BC est égal à la demi-différence des angles B et C.
39. La différence entre les deux angles aigus d'un triangle rectangle est égale à l'angle formé par la hauteur et la médiane issues du sommet de l'angle droit. — Si l'on rapproche ce résultat du précédent, quelle con^ clusion peut-on en déduire?
40. Si Ton mène les bissectrices des angles extérieurs d'un triangle ABC, les trois triangles partiels et le triangle total qu'elles déterminent autour du triangle donné sont équiangles. Chaque angle du triangle ABC a pour supplément le double de l'angle qui lui est opposé dans le triangle total.
4i. Dans un triangle ABC, on prend sur le côté AB et sur son prolongement AD = A£ = AG, puis on joint le sommet G aux points D et E. Démontrer que Tangle E est la moitié de Tangle A du triangle ABG, et que l'angle DGE est droit.
42. Dans un triangle ABG on mène, jusqu'au côlé BG, une droite AD faisant avec le côté AB un angle égal à l'angle G et une droite AE faisant avec le côté AG un angle égal à l'angle B. Démontrer que le triangle DAE est isocèle.
43. Dans un triangle rectangle, si l'un des angles aigus est double de l'autre, l'hypoténuse est double dû plus petit côté. — Réciproque.
44. Dans un triangle quelconque ABG où l'angle B est double de l'angle G, on mène AD perpendiculaire sur le côté BG; sur AB, prolongé ou non suivant que l'angle B est aigu ou obtus, on prend BE égal à BD, puis on tire la droite EDF qui coupe AG au point F. Démontrer : i** que les longueurs FD, FG, FA, sont égales et que les triangles ABG, AFE, sont équiangles; a* que le côté AB est égal à la différence des segments DG et DB de la base BG si l'angle B est aigu, à leur somme si l'angle B est obtus
45. L'angle des bissectrices de deux angles consécutifs d'un quadrilatère convexe est égal à la demi-somme dos deux autres angles du quadrilatère. L'angle des bissectrices de deux angles opposés est égal à la demidifférence des deux autres angles.
46. Les bissectrices des angles formés en prolongeant jusqu'à leur rencontre les côtés opposés d'un quadrilatère convexe se coupent sous un angle égal à la demi-sonmie de deux angles opposés du quadrilatère.
§ VI. ~ Du parallélogramme.
47. Deux quadrilatères convexes sont égaux lorsqu'ils ont un angle égal, et leurs quatre côtés égaux chacuii à chacun et disposés de la même manière. Énoncer le théorème correspondant pour le cas de deux parallélogrammes, de deux rectangles, de deux losanges, de deux carrés.
48. Deux trapèzes sont égaux lorsqu'ils ont leurs quatre côtés égaux chacun à chacun et disposés de la môme manière.
49. Toute droite passant par le centre d'un parallélogranmie le divise en deux quadrilatères égaux.
90. Tout quadrilatère est la moitié du parallélogramme que l'on obtient ea menant par les extrémités de chaque diagonale des parallèles à l'autre
35S GêOStTlIE PLAKE.
diagonale. — Déduire de ce ihéorème que deux quadnîjleres ont même fiorfiace lorsque leur» dia^'onales sont respecLiT^mcnl é^aîtrs el se coupent sotj? le même angle.
SI. Si Ton mène la droite DE qai joint les milieux des côlés AB et ÂC du triangle ABC et, par les points D et £, deux parallèles quelconques DF, £G, jusf\n'à la rencontre du côté BC, le triangle ADE est le quart du triangle AUC et le parallélogramme DEGF en est la moitié.
!'ti. Les droites qui joignent successivement les milieux des côtés d'un quadrilatère forment un parallélogramme, moitié de la 6gure primitive. — Conséquence relative aux droites quV joignent les milieux des côtés du quadrilatère.
53. £n divisant arbitrairement, mais de la même manière, les côtés (l'un carré, et en joignant successivement les points de division, on forme un nouveau carré inscrit dans le premier.
9i. Étant donné un parallélogramme ABCD, on prend en sens inverse, sur les côlés opposés AB, CD, deux longueurs AE et CF, arbitraires, mais égales; de même, sur les côtés opposés ÂD, BC, on prend en sens inverse les longueurs arbitraires AU = CG. Démontrer : i*" que la figure EGFU est un parallélogramme inscrit dans le parallélogramme proposé; a** que lo ceiitro du parallélogramme proposé est en môme temps celui de tous les parallclogiammes qu'on peut y inscrire.
55. Le point de rencontre des droites qui joignent les milieux des côtés opposés d'un quadrilatère quelconque est le milieu de la droite qui unit les milieux des diagonales de ce quadrilatère.
50. Les bissectrices des angles d'un quadrilatère convexe forment un second quadrilatère dont les angles opposés sont supplémentaires. Lorsque le premier quadrilatère est un parallélogramme, le second est un rectangle dont les diagonales sont parallèles aux côtés da parallélogramme et égales a la différence do ses côtés adjacents. Lorsque le premier quadrilatère est un rectangle, le second est un carré.
87. Si, par un point quelconque de la base d'un triangle isocèle, on mène dos parallèles aux deux autres côtés, on forme un parallélogramme dont le périmètre est constant.
58. ABC étant un triangle rectangle et ABDM, ACEN, étant les carrés construits sur les côtés AB et AC de l'angle droit, des sommets D et E, opposés au sommet A, on abaisse des perpendiculaires DF, EG, sur l'hypoténuse BC prolongée. Démontrer : i** que l'hypoténuse BC est égale à la somme des perpendiculaires DF et EG ; a'' que le triangle proposé ABC est la somme des triangles DFB, CEG.
QUESTIONS PROPOSÉES. SSq
59. Démontrer que dans tout trapèze isocèle les angles opposés sont supplémentaires.
60. Dans tout trapèze, les quatre points, milieux des deux côtés non parallèles et des deux diagonales, sont sur une même droite parallèle aux deux bases du trapèze ; la distance des points extrêmes est égale à la demisomme de ces bases; la distance des points intermédiaires est égale à leur demi-différence.
61. ÂBCD étant un parallélogramme, E et F étant les milieux des côtés opposés AB et CD, les droites BF et DE divisent la diagonale AC en trois parties égales.
62. Par le sommet A d'un parallélogramme ABCD, on mène une droite quelconque AX. Prouver que la distance du sommet C à la droite AX est égale à la somme ou à la différence des distances des sommets B et D à ta même droite, suivant que AX est extérieure au parallélogramme ou le traverse.
63. D, E, F, étant respectivement les milieux des côtés AB, BC, CA, d'un triangle ABC, on mène DG parallèle à la médiane BF jusqu'à la rencontre de EF prolongée. Démontrer que les trois côtés du triangle DGC sont respectivement égaux aux trois médianes du triangle ABC.
6i. Démontrer qu'un polygoie convexe, d'un nombre impair de côtés, est déterminé quand on donne les milieux de ses côtés.
65. Parmi tous les triaogles qui ont un angle égal compris entre deux côtés variables dont la somme est constante, quel est celui dont le périmètre est minimum?
60. Étant données deux parallèles XY, X'Y', et deux points A et B siiiiôs hors de ces parallèles et de côtés différents, trouver le plus court chemin de A en B par une ligne brisée AMNB telle, que la portion MN comprise entre les parallèles ait une direction donnée.
67. Sur un billard rectangulaire, dans quelle direction faut-il lancer la bille pour qu'elle revienne au point de départ après avoir frappé successivement les quatre côtés? — Quelle est la longueur du chemin parcouru alors par la bille? ^ Comment généraliserait-on la question? (On admet que, lorsque la bille frappe une bande, les deux droites qu'elle suit, avant et après le choc, sont également inclinées sur la bande].
