LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

§ I. ~ Des arcs et des cordes.

68. Ëtant données la base d*un triangle et la différence des deux autres rôtés, trouver le lieu des pieds des perpendiculaires abaissées des extrémités de la base sur la bissectrice de Tangle au sommet. — Même ques* tion en remplaçant la différence des deux côtés par leur somme, et la bissectrice de Tangle au sommet par celle de son supplément.

69. Si Ton divise la corde d*un arc de cercle en trois parties égales, les rayons qui passent par les points de division partagent l'arc en trois parties, dont les deux extrêmes sont égales entre elles et moindres que la partie intermédiaire.

70. Par un point A extérieur à une circonférence 0, on mène une secante ACD dont la partie extérieure AC est égale au rayon ; on mène en outre le diamètre AOB : démontrer que Tangle COA est le tiers de l'angle DOB.

71. Ëtant donnés une circonférence et un point dans son plan, quelle est la plus petite corde qu'on puisse mener par ce point dans la circonférence?

72. Si deux cordes égales se ooupent à Tintérieur ou à l'extérieur d'une circonférence, les segments déterminés sur ces deux cordes par leur point de rencontre sont respectivement égaux.

§ II. — Tangente an cercle. — Positions mataelles de denx

circonférences.

73. La plus petite et la plus grande des droites qu'on peut mener entre deux circonférences passent par les centres de ces circonférences.

74. Étant donnés trois points non en ligne droite, faire passer par un point donné ou décrire avec un rayon donné une circonférence dont les trois premiers points soient également distants.

75. Si deax cordes AB et CD se coupent dans un cercle, la somme AC -+■ BD des arcs qu'elles interceptent est égale à la somme des arcs interceptés par les deux diamètres parallèles à ces cordes.

76. Un cercle étant donné, combien faut-il de cercles de même rayon pour l'entourer?

77. On donne un cercle de centre 0 et de rayon R, et un point extérieur A. Du point A comme centre, avec OA pour rayon, on décrit un arc BOC, et du point 0 comme centre avec 2R pour rayon, on décrit un nouvel arc qui coupe le précédent en B et en C. On mène OB et OC qui rencontrent respectivement en E et en D la circonférence primitive. Démontrer que AE et AD sont tangentes à cette circonférence.

78. AB étant un diamètre fixe d'un cercle, et CD une corde parallèle à ce diamètre, on mène CB et DA qui se coupent en M, puis CA et DB qui se coupent en N. Trouver le lieu des points M et N quand la corde CD se déplace parallèlement à elle-même.

79. Quel est le lieu des centres des circonférences de même rayon qui partagent une circonférence donnée en deux parties égales?

80. Quel est le lieu des centres des circonférences de môme rayon qui coupent sous un angle donné une circonférence donnée ?

§ m. — Mesure des angles.

8J. A, B, C, étant trois points quelconques d'une circonférence, D le milieu de l'arc AB, et E le milieu de l'arc AC, la droite DE coupe respectivement en F et en G les cordes AB et AC. Démontrer que AF = AG.

82. A étant un point quelconque d'un diamètre, B l'extrémité du rayon perpendiculaire à ce diamètre, on mène BA qui coupe le cercle en P, puis la tangente au point P qui coupe en C le diamètre prolongé. Démontrer que CA = CP.

83. A, B, C, A', B\ C, étant six points pris sur une circonférence, de telle manière que AB soit parallèle à A'B' et AC à k'C\ démontrer que BC' et CB' sont parallèles.

84. Les hauteurs AA', BB', CC, d'un triangle quelconque ABC, sont les bissectrices des angles du triangle A'B'C

85. ABC étant un triangle inscrit dans un cercle, on joint le centre 0 au milieu D de l'arc BC, et l'on mène AD. Démontrer que l'angle ADO est la moitié de la diOérence des angles B et C.

86. Si par le point A, commun à deux circonférences qui se coupent, on mène à volonté deux sécantes ABC, ADE, les cordes BD et CE qui

en un même point 0; 3" que, du point 0, on voit sous lo même angle les trois côtés du triangle ABC.

95. Par un point fixe pris dans le plan d'un cercle, on mène diverses cordes : trouver le lieu des milieux de ces cordes.

96. Par l'une des extrémités d'un diamètre AB d'un cercle, on mène une corde quelconque AC que Ton prolonge d'une quantité CM égale à CB : quel est le lieu des points M?

97. On donne un cercle et un point fixe A situé dans son plan. ABC étant une corde quelconque issue du point A, on élève sur le milieu do cette corde une perpendiculaire IM égale à TA. Quel est le lieu des points M?

98. ABC étant un triangle équilatéral, quel est le lieu des points M, tels que MA = MB -h MC?

99. Trouver le lieu du point de concours des hauteurs dos triangles qui ont même base et même angle au sommet.

iOO. Une circonférence roule dans l'intérieur d'un cercle de rayon double : quel est le lieu décrit par un point de celte circonférence?

iOl. Trouver le lieu des points lels^ que si l'on abaisse de l'un d'eux des perpendiculaires sur les trois côtés d'un triangle fixe, les trois pieJs de ces perpendiculaires soient en ligne droite.

102. Dans un triangle, on donne : la somme ou la différence de deux côtés et l'angle formé par ces côtés en grandeur et en position. Trouver le lieu du centre du cercle circonscrit.

103. Deux circonférences 0 et 0' étant tangentes intérieurement au point A, et BC étant une corde de la grande circonférence tangente en D à la petite circonférence, la droite AD est la bissectrice de Tangle BAC.

104. La circonférence 0 touchant les deux circonférences 0' et 0" aux points A et B, on prolonge la corde AB jusqu'à son second point de rencontre C avec la circonférence 0*. Démontrer que les deux rayons O'A et O'C sont parallèles. La droite O'O* rencontrant les circonférences 0' et 0* aux points D et E, démontrer en second lieu que le quadrilatère ABDE est inscriptible.

105. Le point C étant le milieu dun arc AB, et le point D un point quelconque de cet arc, on a AC + BC> AD + BD.

§ IV. — Gonstmctlon des angles et des triangles.

106. Construire un triangle, connaissant : I* Deux côtés et une médiane (deux cas];

364 GÉOBftTKU PLAXB

Tk" Un côté et deux médianes (deux cas) ,

3** Les trois médianes;

4" La base, la différence desdeox antres côtés et la différence des angles à la base;

5*" La base, un angle à la base, et la somme on la différence des deux autres côtés;

^ La base, l'angle au sommet, et la somme ou la différence des deux autres côtés.

i07. Diviser un angle droit en trois parties égales.

108. Par un point donné 0, mener trois droites OÂ, OB, OC, de longueurs données et telles, que leurs extrémités A, B, C, soient en ligne droite, et que les intervalles AB et BC soient égaux entre eux.

109. Soient ABC un triangle, et ABDE, ACFG, BCHK, les carrés construits sur les trois côtés; connaissant les longueurs des trois droites EG, FU, KD, construire le triangle ABC.

§ V. — Tracé des parallèles et des perpendicolaires.

liO. Décrire un cercle :

1*^ Touchant deux droites données, et Tune d'elles en un point donné; 2' Touchant une droite et une circonférence données, et cette circonférence en un point donné.

fil. Construire un triangle, connaissant:

1** Les pieds des trois hauteurs ;

2° Un angle, une hauteur et le périmètre (deux cas];

3"^ Un côté, Fun des angles adjacents et la longueur de la bissectrice de cet angle ;

4"* La somme de deux côtés et les angles;

5° Le périmètre et les angles ;

6^ Un angle, la longueur de sa bissectrice et Tune des hauteurs (deux cas);

7* Les angles et une hauteur;

8"* La base, la somme des deux autres côtés et la différence des angles à la base.

112. Construire un quadrila'ère, connaissant les quatre côtés et la droite qui joint les milieux de deux côtés opposés.

113. Construire un pentagone, connaissant les milieux des cinq côtés.

114. Par l'un des points d'intersection de deux cercles, mener une sécante commune qui ait son milieu en ce point.

115. Par un point donné, mener une droite qui fasse des angles égaux avec deux droites données.

116. Tracer une droite de longueur donnée, dont les extrémités s'appuient sur deux droites données, et qui soit parallèle à une droite donnée.

Même problème en remplaçant les deux droites par deux circonférences.

117. On donne trois droites issues d'un même point, et un point pris sur Tune d'elles; mener par ce point une sécante qui soit divisée par les trois droites en deux parties égales.

118. Par un point extérieur à un cercle, mener une sécante dont la longueur totale soit double de sa partie extérieure.

119. Inscrire dans un triangle un losange dont Tun des angles coïncide avec un angle du triangle.

120. Tracer une circonférence qui passe à égale distance de quatre points donnés, dont trois quelconques ne soient pas en ligne droite.

121. Décrire une circonférence de rayon donné, dont le centre soit sur une droite donnée et telle, que la somme des distances, maximum et minimum, d*un point donné à cette circonférence, soit égale à une longueur donnée.

122. Par un point pris dans le plan d'un parallélogramme, mener une sécante telle, que la partie comprise entre deux côtés opposés (prolongés s'il le faut] soit égale à la partie comprise entre les deux autres côtés.

§ VI. — Problëmes sur les tangentes.

123. Mener à un cercle une tangente qui fasse un angle donné avec une droite donnée.

124. Deux cercles étant donnés, mener une sécante telle, que les cordes interceptées sur elle par les deux cercles aient des longueurs données.

125. Des sommets d'un triangle comme centres, décrire trois cercles qui se touchent deux à deux.

126. Décrire un cercle qui touche deux circonférences, et l'une d'elles en un point donné.