III III III

222. Sur la base BG d'un triangle ABC, on décrit extérieuremenl aa triangle un carré BGDE; on mène les droites AD et AE qui coupent BC en P et Q : démontrer que PQ est égal au côté du carré inscrit dans le triangle ABC et reposant sur BC.

223. Dans tout triangle ABC, le produit des distances des points B eiC à la bissectrice de l'angle intérieur A, est égal au produit de la bissectrice de Tangle extérieur supplémentaire par la dislance du milieu de BC à la première bissectrice; de même, le produit des distances des points B et C à la bissectrice de Tangle extérieur A est égal au produit de la biftsectrice de l'angle intérieur supplémentaire par la distance du miliea de BC à la première bissectrice.

224. La distance d'un point M d'une circonférence à une corde quel* conque est la moyenne proportionnelle des distances du même point aux tangentes menées par les extrémités de la corde considérée.

225. Le produit des distances d'un point quelconque d'une circonférence à deux côtés opposés d'un quadrilatère inscrit dans cette circonférence, est égal au produit des distances du même point aux deux autres côtés.

226. Si des trois sommets d'un triangle et du point de rencontre de ses médianes, on mène des parallèles dans une direction donnée jusqu'à un axe quelconque, la dernière parallèle est la moyenne arithmétique des trois premières.

227. Étant donnés deux triangles et un point, mener par ce point une droite telle, que les sommes respectives des distances des sommets des

deux triangles à cette droite soient dans un rapport donné —

§ IV. — Relations métri^es entre lea différentes parties

d'un triangle.

228. Si, du milieu d'un des côtés d'un triangle rectangle, on abaisse une perpendiculaire sur l'hypoténuse, la différence des carrés des seg*

QUBSTlOlfS PR0P0SÉS8. SjJ

ments déterminés sur Thypoténuse est égale au carré de l'autre cété du triangle.

229. Soit l'angle droit ÀOB placé au centre de la circonférence OÂ. D*un point quelconque C pris sur Tare AB, on abaisse sur OÂ ou sur OB la perpendiculaire CD, qui rencontre en E le rayon, bissectrice de l'angle AOB : démontrer la relation

Cd' -h de' = ijÂ\

230. Si, d'un point pris dans le plan d'un polygone, on abaisse des perpendiculaires sur tous ses côtés, les deux sommes des carrés des segments ainsi déterminés, pris alternativement, sont égales.

231. Étant donné un cercle 0, on décrit un demi -cercle sur Tun de ses rayons OA, et Ton mène à ce rayon une perpendiculaire CDE qui coupe le cercle 0 en D et le demi cercle OA en E : démontrer la relation

232. Dans tout quadrilatère, la somme des carrés des diagonales est le double de la somme des carrés des droites qui joignent les milieux des côtés opposés.

233. Soit G le point de rencontre des médianes d'un triangle ABC; démontrer la relation

Ab' -+- ÂC* + BC' = 3(Xg'-+- Bg'-^-Cg').

— En déduire le rapport de la somme des carrés des côtés d'un triangle à la somme des carr^ de ses médianes.

234. Soient G le point de rencontre des médianes d'un triangle ABC, et M un point quelconque pris dans son plan: démontrer la relation

MÂ'n MB*H-Mc' = ÂG'H-BGVcG'-h3MG'

235. Étant donné un triangle ABC, trouver le lieu des points dont la somme des carrés des distances aux trois sommets du triangle est constante et égale à un carré donné /'.

236. La somme des carrés do deux côtés d'un quadrilatère, plus la somme des carrés des diagonales, est égale à la somme des carrés des deux autres côtés, plus quatre fois le carré de la ligne qui joint les milieux de ces côtés.

237. La somme des carrés des diagonales d'un trapèze est égale à lu

somme des carrés des côtés non parallèles, plus deux fois le produit des

bases.

238. Si Ton prend deux points à égale distance du centre sur le diamètre d'un cercle, la somme des carrés des distances d'un point de la circonférence à ces deux points est constante.

239. Dans tout triangle ÂBC, ie produit des distances des points B et C à la bissectrice de Tangle intérieur A est égal au carré de la moitié de BC, diminué du carré de la demi-différence des côtés ÀB et ÂC; de même, le produit des distances des points B et G à la bissectrice de Tangle extérieur A est égal au carré de la demi-somme des côtés AB et AC, diminué du carré de la moitié de BC.

240. Le sommet A d'un rectangle ABCD est Gxe, les sommets B et D se meuvent sur un même cercle ; quel est le lieu du sommet C opposé au sommet A?

241. Trouver le lieu des points qui partagent les diverses cordes d*un cercle donné en deux segments (additifs ou soustractifs) dont le produit soit constant.

242. Étant donnés un cercle 0 et un point P, trouver le lieu des points M tels, que la distance MP soit égale à la tangente menée du point M au cercle 0.

243. b et c étant les côtés de l'angle droit d*un triangle rectangle, et h la hauteur qui correspond à l'hypoténuse, démontrer la relation

244. a, b^ r, étant les côtés d'un triangle rectangle en A, et h la hauteur qui correspond à l'hypoténuse a, le triangle qui a pour côtés 6 -t- r, /j et a + /i, est aussi rectangle.

245. Si un triangle équilatéral a ses sommets respectivement situés sur trois droites parallèles, et si ^ et c sont les distances de la parallèle intermédiaire aux deux autres, le côté du triangle a pour expression

Ib'* -hbc -h c^ 'V 3

246. Dans tout trapèze, la différence des carrés des diagonales est à la différence des carrés des côtés non parallèles comme la somme des côtés parallèles est à leur différence.

247. Calculer les diagonales d'un trapèze, connaissant ses quatre côtés.

248. ÂBCD est un quadrilatère, E le milieu de la droite qui unit les

milieux des diagonales; si du point E comme centre on décrit un cercle,

montrer que la somme des carrés des distances d'un point P de ce cercle

aux quatre sommets A, B, C, D, est constante et égale à la sommo

des carrés des distances du centre E aux mêmes sommets, plus quatre

fois EP .

249. Une corde PAQ coupe en A le diamètre d'un cercle sous un angle

de 45 degrés, démontrer que AP + AQ est égale à deux fois le carré du rayon.

2Î$0. Si deux cordes se coupent dans un cercle, la différence de leurs carrés est égale à la différence des carrés des différences de leurs segments.

281. Si Ton prend un point dans l'intérieur d'un rectangle, les sommes des carrés des distances de ce point à deux sommets opposés sont égales.

252. Si Ton mène une tangente à un cercle, la partie de cette tangente interceptée par les tangentes menées aux extrémités d'un môme diamètre est divisée au point de contact en deux segments dont le produit est égal au carré du rayon.

253. Si, autour de deux points A et B d'une circonférence, on fait tourner les côtés d'un angle droit M, et que du point N où le cèté BM coupe la circonférence on abaisse la perpendiculaire KP sur le diamètre AA', le

"'PP^^i'^ 'Tp~ ^^^ constant.

254. Si l'on prend respectivement sur les trois cétésBG, CA, AB, d'un triangle ABC, trois points a, p, 7, tels, qu'on ait

(b^' - C^') -+- (c^' - Ap) -H (Âv' - B^') = o,

les perpendiculaires élevées par ces points sur les côtés du triangle concourent en un môme point.