Déduire de la proi>osition précédente

I* Que les perpendiculaires élevées sur les milieux des côtés d'un triangle se coupent en un même point, qu'il en est de môme des trois hauteurs et des perpendiculaires menées aux côtés' d'un triangle par les points de contact des trois cercles ex-inscrits,

a" Que si les perpendiculaires menées des sommets d'un triangle ABC sur les côtés d'un triangle A'B'C se coupent en un môme point, récipro* quemcnt les perpendiculaires menées des sommets du triangle A' B'C sur les côtés du triangle ABC sont aussi concourantes.

380 GÉOHÉTRIB PLANE.

256. Soit un triangle ABC rectangle en A, et partagé en deux autres triangles rectangles par la perpendiculaire AD abaissée du sommet A sur l'hypoténuse; si Ton désigne par R, r, /, les rayons des cercles iascrits dans les triangles ABC, ABD, ACD, on a

257. Dans un triangle quelconque, une perpendiculaire étant menée da sommet sur la base, cette base est à la somme des deux autres côtés comme leur différence est à la différence ou à la somme des segments de la base, suivant que la hauteur considérée tombe en dedans ou en dehors du triangle.

258. Si un c6té de Tangle droit d'un triangle rectangle est double de l'autre, la perpendiculaire abaissée du sommet de l'angle droit sur l'hypoténuse la divise en deux segments qui sont dans le rapport de i à 4-

259. Deux cercles dont les rayons sont dans le rapport de a à 3 se touchent intérieurement, et par le centre du plus petit cercle on mène une droite perpendiculaire à la ligne des centres; démontrer que les tangentes menées au plus petit cercle par les points où cette perpendiculaire rencontre le plus grand sont à angle droit l'une sur Tautre.

260. Deux cercles sont tangents en 0 ; par le point 0, on mène à angle droit l'une sur Tautre les sécantes communes POP', QOQ'; A et A' étant les points où la ligne des centres coupe les deux cercles, démontrer la relation

pf' h- QQ'' = ÂÂ'\

261. AOB est un quadrant; si l'on lire la corde Qq parallèle à la corde AB, en la prolongeant jusqu'à ses points de rencontre R et r avec les rayons AO et OB, on a

Qr' -+- Qr' = ÂB*.

§ V. — Problèmes relatifs aux lignes proportionnelles.

262. Mener par un point donné entre deux droites données une droite telle, que le point donné la partage dans un rapport donné — •

263. Étant donnés deux points sur une circonférence, déterminer sur cette circonférence un troisième point tel, que le rapport de ses distances

aux deux premiers soit égal à un rapport donné — •

264. Déterminer hors d'un cercle un point tel, que la somme des deux tangentes menées au cercle par ce point soit égale à la sécante entière qui passe par ce point et le centre du cercle.

265. Inscrire dans un triangle un rectangle dont le rapport des côtés soit donné.

266. On donne sur deux parallèles deux points A et B, et un point C extérieur à ces parallèles. Mener par le point C, à ces parallèles, une sécante dont les distances des points d'intersection aux points A et B soient dans un rapport donné.

267. Déterminer le point dont les distances à trois points donnés sont dans des rapports donnés.

268. Étant donnés une circonférence et un point, mener par le point une sécante qui soit divisée par cette circonférence dans un rapport donné.

269. On donne deux cercles qui se coupent : mener par un de leurs points d'intersection une sécante telle, que le produit des deux cordes interceptées soit égal à un carré donné.

270. Déterminer bur la bissectrice de Tangle A d'un triangle ABC le point M pour lequel la différence des angles MBC et MCB est maximum.

27i. Inscrire dans un triangle un parallélogramme semblable à un parallélogramme donné.

272. Décrire un cercle qui coupe en deux parties égales trois circonférences données.

273. Construire un triangle, connaissant sa base, la somme ou la différence des deux autres côtés, et sachant que son troisième sommet est situé sur une droite donnée.

27 i. Construire un triangle, connaissant un côté, un angle et le rapport des deux autres côtés.

275. Construire un triangle, connaissant deux côtés et la longueur de la bissectrice de l'angle qu'ils comprennent.