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HBSURB DES GRANDEURS.

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c'est-à-dire qu'à la somme de deux valeurs r/urlconques de la première grandeur correspond la somme des deux valeurs correspondantes de la seconde.

Ainsi, correspondance dans légalité ei correspondance dans la somme, telles sont les deux conditions nécessaires et suffisantes de la proportionnalité de deux grandeurs. Si l'une des deux conditions est seule remplie, // ny a pas proportionnalité; c'est ce qui arrive pour un arc et sa corde : à des arcs égaux d*un même cercle correspondent des cordes égales; mais la corde BC de la somme do deux arcs est moindre que la somme AB -+- AC des cordes de ces arcs.

9. On dit qu'une grandeur M est à la fois proportionnelle à plusieurs autres grandeurs A, B, C, lo;>;que, ce* dernières grandeurs, sauf une, restant constantes, la grandeur M est proportionnelle à celle qui varie.

Lorsqu'une grandeur M est proportionnelle à plusieurs outres gran-

deurs A, B, C, /<? rapport de dcuj, valeurs quelconques de la grandeur M

est égal au produit des rapports des valeurs correspondantes des autrts

grandeurs.

Ainsi, soient

/w, a, bf c,

deux séries do valeurs correspondantes des grandeurs M, A, B, C, obtenues en rapportant chaque grandeur à une uiiilé de son espèce. On aura

/// abc

m'"' TPVc''

En effet, soient mx la valeur do M qui correspond aux valeurs a\ 6, c de A, B, C, et wi celle qui réfmnd à //', b\ c; on aura, d'après la déDnition ci-dessus,

m mx

En multipliant ces trois égalités membre à membre et simplifiant, on Irouvo

SUR l'impossibilité de la quadrature du cercle. 4^1

SIR l*iupossibilitb de la quadrature du cercle.

Il n*est guère de problème qui ait donné lieu à plus de tentalives quo celui de la quadrature du cercle : on entend par là, comme on sait, la construction avec la règle et le compas, c'est-à-dire à l'aide d'un nombre limité de droites et de cercles, du carré équivalent à un cercle donné quelconque. L'insuccès de tant d'efforts avait fait regarder ce problème comme impossible, bien qu'il n'existât, à vrai dire, aucune démonstration rigoureuse de cette impossibilité ; on avait seulement prouvé jusqu'ici que le rapport de la circonférence au diamètre est incommensurable (Lambert, 1761), et qu'il en est de même de son carré (Legendre, Note IV de sa Gthmétrie; Hermite, Journal de Crelle, 1878).

Dans tout problème susceptible d'être résolu avec la règle et le compas, chaque. point de la figure s'obtient par l'intersection de deux droites ou d'une droite et d'un cercle, ou de deux cercles; si l'on imagine qu'on traduise algébriquement les constructions au fur et à mesure, à l'aide des formules de la Géométrie analytique, on aperçoit qu'on n'aura jamais à résoudre que des équations linéaires ou quadratiques, en sorte que l'équation finale pourra, par un nombre suffisant d'élévations au carré successives, être ramenée à une équation de degré pair à coefficients rationnels. On aura donc démontré l'impossibilité de la quadrature du cercle, si l'on prouve que ie nombre rr ne sauniit être racine d'une équation de degré quelconque à coefficients rationnels.

M. Lindemann a annoncé (Comptes rendus, t. XCV, et Mathematischc Annalen^ t. XX; 188a) qu'il était parvenu à déduire cette proposition de certaines formules de M« Hermite {Mémoire sur la fonction exponen» tielle, 1874); 88 méthode n'est qu'une généralisation, mais fort habile, de celle qu'avait employée l'illustre géomètre pour démontrer que le nombre ^, base des logarithmes népériens, jouit de la propriété similaire.

Nous allons exposer, en simplifiant quelques détails, les formules de M. Hermite et les recherches de M. Lindemann; ce dernier travail, si remarquable, appelle d'autant plus l'attention qu'il ne semble pas devoir être le dernier mot sur ce sujet, au moins sous le rapport de la simplicité.

Formules do H. Hermite.

I. Remarquons d'abord que, si l'on désigne par m un nombre entier et positif quelconque, par Z|, zj, ..., Za les racines d'une équation en-

tièrc de la forme

(a) f(z) =z'»-»-rt,2«-ï-i-... -+-//„= o,

on peut toujours déterminer un polynôme entier et de degré /i en z tel qu'on ait identiquement

2 — «/ ^ ' " tlz

L z — za

I désignant l'un quelconque des nombres o, i , 2, ...,//, à condition de remplacer zo par zéro.

Car, en égalant les coefficients des mêmes puissances de z dans les deux membres, on trouve, puisque le premier terme est z» de part et d'autre, // relations qui permettent de déterminer les n coefficients

CCS relations, qu'on déduit de

zf -+- a z\~ * -+-

ffk

— w[SoQ*-l(2/)-*- S,'5A..î(2/)-4-...-hSx.jOi(3/) -i-SA-iJ,

en faisant successivement k égal à j, a, . . . , /* et où So, Si , . . . désignent les sommes des puissances semblables des racines de/(z) = 0, montrent que ^k{^i) est un polynôme de la forme

6a(2/) = z?-h 6,zf-» -h . . . -f- Z;^.,

^i , . . • , 6it étant des fonctions entières symétriques et à coefficients entiers des racines de/(z) = o.

L'expression (i) fait voir en outre que, si Ton pose

on a

♦ (Zo, 2i)