Cola posé, considérons l'intégrale
i.2...{m — i/./jj z — z,
le chemin d'intégration pouvant être choisi à volonté, à condition touterois de ne pas passer par l'infini; nous désignerons cette intégrale par le -vinbole wi.
En multipliant les deux membres de la relation (a) par e-^z'"f»*{z\ u.i a
-f- me -" z
d'où, en multipliant par dz et intégrant entre les limites o et z^,
(m ■+■ I )i = ♦{»o, 2/)'"^. H- . . . -+- ♦(Z||, Zi)///^.
La recherche des intégrales (m -h i)]^ se trouve ainsi ramenée à celle dos intégrales m\. Par le même procédé, on ramènera à leur tour celles-ci aux intégrales (m — \)k 6t, en continuant de la sorte, on arrivera à la formule
'"ii- = ui(')?.-^...-^ui(i)j,
avec la relation.
Il® !T"
= oi'"»-»).
Mais, en multipliant parr-^ les deux membres de la relation (2'), on a
e-^zf(z) d
s — Zi
dz
d'où, en multipliant par dz et intégrant entre o et zjc^
11 suffit dès lors de poser
(5) «i = Uaî>(«a, zo) -+-... -f- U" ?(2/4, x«), pour obtenir la formule
due à M. Hermite et dont dépend toute la suite de cette élude,
Les quantités u^ sont des fonctions entières et à coefficients entiers des racines de/{z) = o; leur expression (5) montre en outre que leur déterminant
est égal au produit des déterminants (3) et (4); d'où résulte Tégalité
3. Enfm, pour terminer ce travail préparatoire, nous allons montrer que Y intégrale ;w^ tend vers zéro lorsque m croit indéfiniment.
Si l'on désigne, en effet, par V la longueur du chemin d'intégration adopté pour le calcul de ///^, et par }k et v' les modules maximum de zf^z-) et de ^-=(2 — z/)-* le long de ce chemin, on a évidemment
mod m\
Par suite, si \ /x, v sont les plus grandes valeurs de V, p', v' pour toutes les valeurs de h et de /, toutes les intégrales ///^ auront un module inférieur à
^^ LvX;
or X, fA, y sont des nombres finis et indépendants de ///, et l'on sait d'ailleurs que la fraction mise entre parenthèses peut, pour une valeur assez grande de rentier m, devenir inférieure à toute quantité donnée.
Théorèmes de M. Lindemann.
4. Supposons : i® que n soit de la forme /^, p et 7 étant deux entiers positifs quelconques; a** que zi, • . ., Zp soient les racines d'une équation
SUR L^inrOSSiniLITÊ DB la quadrature du CERCLK. /|25
irréducliblo de la forme
bi, bf. .,.^bp étanl des nombres entiers réels ou imaginaires; 3* que Ton ait pour toutes les valeurs i, 2, . . . p de l'indice v
On aura, par la formule (6),
e^P+'é mi,^ = e^F^f ui — «'
d*où, en multipliant respectivement par des nombres N|, Nj, ..., Nç, supposés entiers réels ou imaginaires, mais différents de zéro, puis ajoutant et ayant égard aux relations (7),
= ttj(Nl2c'-v^-N,2:t'«-v-^ ... -+-N,,2c^«v) — Ni 2 ni - Ni I //^^., - ... — Ny X «fç-JJ/H-v,
toutes les sommes 2 étant prises de v =: 1 à v = /i. Uexistence d'une relation telle que
(I) No-t- NiSc^vH- Ni2£r**v-+- . . . -f. N^2ff»«v= 0
entraînerait donc les /i h- i relations que Ton déduit de
= — [No«i -H N| 2w,' ■+- N,2//^
— IJ/'+vJ,
en y faisant 1 = o, i, u, ..., /i. L'impossibilité de la relation (I) sera donc démontrée, si l'on prouve Timpossibilité du système des (//-i-i) équations (8).
A cet effet, nous ferons d'abord les remarques suivantes, qui résultent de la composition des m^ et de la forme entière des coefGcieuts de l'équation qui a les Zk pour racines.
i"* Le second membre de la première des équations (8) (relative à / = o) est un nombre entier; car ce second membre, qui est une fonction entière et à coefficients entiers de zjt^ est en outre une fonction symétrique de ces racines* vu que, si Ton échange les indices x et /qu'on suppose choisis parmi t, a, ...,/>, i/J s'échange avec /r}, Zjr^xp 9i\ec ^j+ip, et
a" Les seconds membres des autres équations ( 8) ne font que s'échanger
entre eux par l'effel de l'échange mutuel des z^; car, si Ton échange z^ et Zy, uf^xp s'échange avec rfj^xp tant que / diffère do x et de j, cl en outre fiy^xp s'échange avec ui^.xp et uf^^p si^ec uf.+xp' Ces seconds membres sont d'ailleurs des fonctions entières et à coefficients entiers des zt\ si donc on considère l'équation
qui aurait les seconds membres des équations (8) pour racines, les co^'fficients Ai, ..., A/, étant des fonctions entières et symétriques de ces seconds membres seront des nombres entiers.
Mais les premiers membres des équations (8) tendent vers zéro quand //} croit indéfiniment; donc il en est de môme alors do Ai, As, .... A a, et comme ce sont des nombres entiers, il faut que, à partir de certaines valeurs de m et pour toutes les valeurs plus grandes de m^ on ait rigoureusement Al = o, Ai= o, . . ., Art= o. Donc, pour ces mômes valeurs de w, les seconds membres des équations ( 8)» devraient s'évanouir, ot, par suite, tous les déterminants d'ordre (9 + 1) déduits du tableau des coefficicnls No, Ni, . . ., N^ dans les seconds membres des équations ( S > devraient être nuls; il en serait donc de môme du déterminant A, et par conséquent aussi de (?, puisque A = J'"».
Mais le déterminant ^ est, comme on sait, égal au produit de toutes les difTérences d= (az/ — ^z^), lorsqu'on donne à / et h toutes les valeurs 1, a, . ..,/?, et à a et p toutes les valeurs o, 1,2, . . ., 7 (à condition cependant de ne pas faire à la fois a et ^ nuls) ; â ne pourrait donc être nul que s'il y avait entre deux racines z/ et z^ une relation de la forme aZ|- — f za = o; mais alors l'équation aJ*(z) = o et l'équation
auraient une racine commune, tandis que "^(z) a été supposé irréductible. On a donc le théorème suivant :
5/ Zi, 2«, - . ., 2p sont les racines (Pune équation irréductible de ta forme (P) à coefficients entiers fci, . . . , 61, réels ou imaginaires^ il ne peut exister, entre les fonctions symétriques
il<-2v — r=, -k- c^% -t- . . . -h r> ,
OÙ q désigne un nombre entier et positif quelconque y aucune relation telle que (I), c^est-'à-dire aucune relation linéaire dont les coefficients Ne, Kl , . . . , N^ soient entiers réels ou imaginaires et diffétents de zéro.
SUR l/iMPOSSiniLITÉ DE LÀ QUADRATURE DU CERCLK. l\2J
En particulier, on ne saurait avoir
No -4- Ni -+- (r''-i -4- ff"« H- ... -h r'"*») — o,
r étant «n entier positif quelconque; et par conséquent, sous les condi* (ions ndmhes, aucune des fonctions symétriques
crz ^ c''^: H- . . . -+- e'''n
ne saurait être égale à un nombre rationnel.
5. I-es propositions précédentes peuvent s'étendre aux fonctions symôtriquos
(lo {
En effet, supposons d'abord que les nombres qui fip^urcnt comme exposants de e soient tons diflercnts les uns des autres et différents de zéro. L'existence d'une relation linéaire à coefficients entiers No, Nt, Nj, ... entre les quantités (lo) conduirait alors fi un système d'équations entièrement analog:ue au système (8) et dont on mettrait l'impossibilité en évidence par un raisonnement pareil à celui du n* 4.
Si l'hypothèse ci-dossus n'est pas remplie, admettons d'abord que dans Tune des fonctions (lo) que nous désij>nons par Y.e'^^ plusieurs des exposants Z soient égaux entre eux, et considérons une relation de la forme
(II) o = No-+-N,^rZ.
Toutes les quantités Z peuvent alors être réparties en plusieurs groupes
1, Ail, »<j, •••^ «"87 '-'ti *^i> •••1 •••»
tels que les quantités qui forment un môme groupe soient racines d'une équation irréductible à coefficients rationnels et ne fassent que s'échanger entre elles quand on échange les racines Zk- Or le succès du raisonnement appliqué dans le n*" 4 à la relation (I ) était dû précisément à ce qu'il n'intervenait dans chaque somme séparée que des exposants de e s'échan* géant entre eux par suite de l'échange des Zk» Nous pouvons donc ici conclure immédiatement à l'impossibilité d'une équation de la forme
o = No -^ N| ï rf'* ^ Ns 2e*i -H . . . ,
et par suite de la relation (II) qui en est un cas particulier. Si, de plus, une des quantités Z était nulle, cela équivaudrait à un changement dans la valeur de No ; mais alors le raisonnement serait en défaut, à moins que tous les exposants du second membre de (II) ne s'évanouissent en même temps. Si l'équation qui a les zk pour racines est irréductible, le ca»
428 NOTE II. — SUR l/l»POSSIBILITÉ I)K LA QUADHATURE DU CERCLB.
d'exception que nous signalons ne peut se présenter que pour Texposani de la fonction
(il) €'*= tf''(^,-+-V---»-V>
lorsque le coefficient h^ de zP-^ dans l'équation >|^(j8) ■■ o est nul. Considérons maintenant au lieu de (II) une équation linéaire dans laquelle iigurent plusieurs des fonctions (lo); on pourra encore grouper tes exposants de telle sorte que chacun des nombres N multiplie une somme telle que les exposants de e qui appartiennent aux termes de cette somme soient les racines d'une équation irréductible, et l'on répétera ce qui a été dit ci-dessus à propos de l'équation (il).
Donc : Aucune des fonctions sjrme'thques (lo) ne peut être e'gale à un nombre rationnel i et, plus généralement, entre les fonctions (lo) il ne peut exister aucune relation linéaire à coefficients rationnels, à moins que r équation '^[z] = o ne suit privée de second terme, auquel cas une fonction sjrmétriijue des quantités (ii) peut être égale à un nombre ra^ tionnel.
6. La première série des quantités (lo) n'est autre que la suite dos; coeliicients Mi, Ms, •. ., Mp de Téquation
(12) V/'— MiV/'-i-hAl,V/'-* - . .. ±\l^:^ o,
qui a pour racines ff*i, tf*«, . .•, e^p.
D'après ce qui vient d'être dit, ces coefficients ne peuvent être rationnels, sauf M^ pour bi = o, et il ne saurait exister entre eux aucune relutiou linéaire à coefficients rationnels. Mais si l'une des racines de (12), ccst-à-dire l'une des quantités ^'i, £?«t, .•.,«> était rationnelle, sa substitution à la place de V dans (12) établirait précisément une relation à coefficients rationnels entre Mi, Mt, ..., M^. Donc : Si z est racine d'une équation irréductible de la forme (f>), e^ ne peut être un nombre rationnel.
Or on a f'*^-' =: — i; donc tt^/— 1 ne saurait être racine d'une équation irréductible de la forme (^). D'ailleurs, on peut rameuer toute équation à coefficients rationnels à la forme (^), en prenant pour inconnue //z, au lieu de 2, /'étant un nombre entier convenablement choisi. Donc, enfin :
Le nombre n ne saurait être racine d'une équation algébrique à cotf» ficients rationntls [réels ou imaginaires).
NOTE Iir. — GÉOMÉTRIE DU TRIANGLE.
