SLR LÀ GÉOMÉTRIE RÉCENTE DU TRIANGLE

Définition des coordonnées.

1 . Soit ABC {Jig, i) le triangle fondamental, primitif ou de référence.

On fixe la position d'un point M ou d'une droite m par rapport au triangle ABC au moyen do certaines quantités qu'on appelle les coordonnées de ce point ou de cette droite.

Menons les perpendiculaires MX, M Y, MZ sur BC, CA, AB, et désignons par Xy Xi ^» les nombres qui mesurent les longueurs MX, MV, MZ, précédées du signe -+- ou du signe — , suivant que le point M est, par rapport à la droite sur laquelle on a abaissé la perpendiculaire, du mémo côté que le sommet opposé du triangle ABC ou d'un côté différent.

Les quantités x, y^ z sont les coordonnées normales de M. Les côtés de ABC indéfiniment prolongés partagent le plan en sept régions, que nous avons numérotées o, i, 2, 3, 1', 2', 3' ; les signes des coordonnées d'un point appartenant à Tune de ces régions sont respectivement

(*) Daiu cotte Note, les renvoifi so rapportoiit au Icitc du Traite aX a. celui du la Note eUe^mèmc; pour éviter toute ambiguïté, nous ferons précéder ceux qui visent les numéros de cette dernière de la lettre N.

43o NOTE III.

Appelons «, ^, c, S les côtés et Taire do ABC. Si lo point M est situé dans l'intérieur du triangle, S est la somme dos aires des triangles MBC,

MCA, MAB ; d'où

ax -h by H- c- = 2S.

Cette équation subsiste dans toutes les positions do M. Lo point M est déjà déterminé, quand on donne, soit deux des coordonnées or, /, z\ soit trois quantités, /, w, n proportionnelles

à X, j, z\ car, si 1 on connaît les rapports - = — , - = -, on peut con-

struire C217) les droites AM, BM. Les quantités /, /w, /i, prennent également le nom de coordonnées normales de M ; jc, ^, 5 sont alors les coordonnées normales absolues,

2. Soient a, p, y trois nombres proportionnels aux aires des triangles MBC, MCA, MAB, ces aires étant considérées comme positives ou négatives, suivant que le triangle correspondant et le triangle fondamental sont situés du mCme côté do leur base commune ou de part et d'autre. Désignons par Mi, Mj, M3 les points de rencontre dos droites AM, BM, CM avec BC, CA, AB. Les triangles ABM, ACM ont môme base AM, et les distances de B et C à cette droite sont proportionnelles aux segments BMi et CMi. Par conséquent,

MsC

MiC 3'

d'où un moyen do déterminer M, quand on connaît a, 3, v.

Les quantités a, p, y ont reçu le nom de coordonnées barfccntrif^urs^ » ) de M. Le lecteur familiarisé avec les premières notions de Mécanique voit facilement que M est le centre de gravité de trois masses proportionnelles à a, p, Y et placées respectivement en A, B, C.

Les relations suivantes sont souvent utiles :

M Ml a

AMi ■" a-+- ^-h y'

mu ?