Si rt«=-(^«-f-c
1* Le triangle podaire XYZ de K est semblable à AGB; '2* La circonférence AB'G' passe par G; les circonférences AGB, AGC touchent le côté BG; la circonférence BGG passe par H ; S"" OK est perpendiculaire à AK, GK est parallèle à BG;
4* AK* = BK.GK, 2Âh'= Bh'-+- GÏÏ';
5' Le triangle podaire de G est isocèle;
6** Le cercle qui passe par A et les pieds des bissectrices intérieure et extérieure de Tangle ABG passe par G;
7* Lorsque deux sommets du triangle ABG restent Axes, le troisième décrit une circonférence.
34. Soient X, Y, Z les projections du centre de gravité G du triangle ABG sur les côtés BG, GA, AB. La droite GX rencontre GA en Xi, Afi en Xi; la droite GY coupe AB en Yi, BG en Yt; enfin, la droite GZ
494 GÉOVÉTRIB DU TRIANGLE.
coupo BC en Zi, CA en Zi. Démontrer les formules
35. Soient Ai, Bi, Ci les projections du centre K des symédianes du triangle ABC sur les perpendiculaires élevées aux milieux des côtés. Soit D le point de concours dos droites AA|, BBi, CCi. Démontrer q»e les droites joignant les milieux des côtés homologues des triangles ABC, AiBiCi concourent en un même point S, qui est, à la fois, le complémentaire de D, le milieu de la dislance QQ' et Finverse du pôle de la corde ÛU' du cercle (OK).
36. H étant Forthocentre du triangle ABC, on porte, sur les droites HA, HB, HC, des longueurs HA', HB', HC égales aux hauteurs correspondantes de ABC. Les parallèles menées par A', B', C aux côlés BC, CA, AB forment un nouveau triangle A''B"C'. Démontrer que H est le centre de gravité de A'B'C, et que le centre d'homothétie des triangles ABC, A"B''G' est le centre du cercle des neuf points de chacun d'eux.
37. A un triangle donné ABC, on circonscrit deux triangles ÀiB]Ci et AsBjCs, semblables à un triangle donné a^-f* ^^ ayant leurs côté5 homologues perpendiculaires entre eux. Démontrer que la somme de5 aires des triangles AiBiCi, AsB^Ct est constante.
38. On mène, par les sommets d'un triangle ABC, des droites faisant un même angle X, dans le même sens, avec les côtés opposés; soit A'B'C le triangle formé par ces droites. On demande de démontrer que :
1** Le centre du cercle circonscrit à A'B'C est Forthocentre de ABC: a* Les projections do BC, CA, AB sur B'C C'A', A'B' sont égales
àiB'C, ic'A', ^A'B'; a '2 'a
3** n existe une valeur de X telle, que le triangle A'B'C soit égal
à ABC.
39. Étant donnés les sommets B, C d'un triangle ABC et la symédiane indéfinie BK, le sommet A décrit une circonférence.
40. Construire un triangle ABC, connaissant : * I* Les longueurs AB, AC, AKi ;
a° Les longueurs BC, AA', AKi ; 3'' Les points B, C, K:
4* Les points B, C, û;
Q|}BSTI01<CS FROPOSÊBS, 49^
5° Les points A, G, K; 6** Les points A, 0, K ; 7* Les points A, 0, H.
41. Sur une droite fixe OX, on porte trois longueurs OA', OB', OC' égales aux côtés d'un triangle ABC; puis on forme les angles XA'M, XB'N, XC'P, respectivement égaux aux moitiés des angles opposés de ABC. Démontrer que :
1° Les droites A' M, B'N, C'P se rencontrent en un môme point T;
a*" Les longueurs A'T, B'T, C'T sont égales aux distances AI, BI, CI, I désignant le centre du cercle inscrit à ABC;
3° La perpendiculaire TQ abaissée sur OX est égale au rayon do ce cercle ;
4*" OQ est égale au demi-périmètre de ABC.
42. On construit trois angles XOA', XOB', XOC égaux aux angles A, B, C d'un triangle ABC, et l'on prend 0A'= BC, 0B'= CA, 0C'= AB. Démontrer que :
1° Les points 0, A', B', C sont situés sur une circonférence égale à la circonférence ABC;
7? Les côtés du triangle A'B'C sont doubles des distances comprises entre les milieux des côtés de ABC et les pieds des hauteurs correspondantes;
3° Les distances do 0 aux points de rencontre de OX avec B'C, C'A',
A»n» â z 1 , bc ca ah A B sont égales à —> -7- ' ^ ;
abc
4° La droite joignant 0 au centre de gravité du triangle A'BX' fait avec OX un angle égal à V, V étant l'angle de Brocard de ABC.
43. Sur une droite fixe OX, on porto trois longueurs OA', OB', OC' proportionnelles aux carrés des côtés d'un triangle ABC; puis on forme les angles XA'M, XB'N, XC'P égaux aux angles opiwsés A, B, C. Démontrer que :
I** Les droites A'M, B'N, C'P se rencontrent en un môme point T;
a* Les longueurs A'T, B'T, C'T sont proportionnelles aux rectangles bc^ coy ab des côtés;
3" La perpendiculaire TQ abaissée sur OX est proportionnelle au double de Taire ABC;
4* 00 est proportionnelle à - ( «2 -+. ^1 ^ c' ) :
5* OT est proportionnelle àv/«*^*-h 6*c»-t-c*rt»;
6" L'angle XOT est égal à l'angle V do Brocard du triangle ABC.
44. Soient A, B, C, D quatre points d'une circonférence. Démontrer que les centres des cercles inscrits aux triangles ABC, ACD, BCD, ABD sont les sommets d'un rectangle. Considérer également les centres des cercles exinscrits.
45. Une transversale m coupe les côtés d'un triangle ABC aux points mi, ms, 77x3; les perpendiculaires élevées en ces points sur les côtés correspondants de ABC forment un nouveau triangle A'B'C. Démontrer que :
i"" Les droites AA', BB', CC se coupent en un même point M, commun aux deux circonférences ABC, A'B'C;
9/' Ces circonférences sont orthogonales (383);
3" Les droites de Simson (169, 11°) de M par rapport aux Iriangles ABC, A'B'C sont parallèles à /w;
4" Les points A', B', C parcourent des circonférences, lorsque m se déplace de manière que Taire du triangle A'B'C soit constante.
46. Soient AHi, BHs, CH3 les hauteurs du triangle ABC, et H leur point de concours; A', B', C les milieux de BC, CA, AB; A', B', C les milieux des segments AH, BH, CH; A'", B"', C" les milieux de H,H„ H3H1, HiHj. Démontrer que :
i" Les droites do Simson des sommets de l'un des triangles HiHiHs, A'B'C par rapport à l'autre triangle, concourent au centre T du cercle inscrit au triangle A'^B'^'C";
2° Les droites de Simson des points A', B', C par rapport au triangle A'B'C, forment un triangle qui est homologique avec le triangle ABC par rapport au centre de gravité du triangle H 1 Ils Us ot qui a pour orthocentre le point T.
47. Soient 0, I les centres du cercle circonscrit et du cercle inscrit à un triangle ABC; KaK^Kc le triangle que forment les tangentes menées en A, B, C au cercle 0; ot, p, y les centres des cercles inscrits dans les triangles K^BC, K^CA, KcAB; enfin, a'^'^'le triangle formé par les cordes communes aux cercles 0 et oc, 0 et p, 0 et y- Démontrer que :
i^ Les diagonales de l'hexagone formé par les côtés des triangles ABC, x^Y ^^^^ parallèles aux côtés de ABC, passent par I et touchent, chacune, deux des cercles a, p, y;
2* Le centre radical des cercles a, p, y coïncide avec le centre du cercle inscrit au triangle «'P'y'î
3° Les droites A a', Bp', Cy' se coupent en un même point dont le» coordonnées normales sont a*, ^*, c*.
48. Soit A'B'C le triangle formé par les symétriques d'une droite "»
par rapport aux trois côtés d'un triangle donné ABC. Démontrer'quo :
I** Le triangle A'B'C est de forme constante;
a^ Le centre du cercle inscrit à A'B'C (d'un cercle exinscrit, lorsque le triangle ABC est obtusangle) est sur la circonférence ABC;
3"* Quand la droite m se déplace parallèlement à elle-même, les points A', B', C décrivent des droites ;
4"* Quand la droite m roule sur une circonférence ayant pour centre Torthocentre du triangle ABC, l'aire A'B'C reste invariable.
49. Un triangle ABC étant inscrit dans un cercle S, on considère sur la circonférence deux points P et P'. Les projections de ces points sur les côtés du triangle sont situés sur deux droites qui se coupent en M. Cela posé :
1* Démontrer que ce point M décrit une circonférence S' quand le sommet C se meut sur le cercle S, les points A, B, P, P' restant fixes;
a"* Trouver le lieu des centres des cercles S' lorsque les points P et V se déplacent sur la circonférence ^ de façon que l'arc PP' ait une longueur constante. {Agrégation^ 1B79.)
50. Un triangle ABC tourne autour d'un point fixe X de son plan. Soient A', B', C les intersections des côtés homologues dans deux positions quelconques du triangle. Démontrer que le quadrilatère X A'B'C est toujours semblable à lui-môme.
Comment faut-il choisir le point X pour qu'il soit le centre du cercle circonscrit ou inscrit au triangle A'B'C, ou l'orthoccntre de A'B'C, ou son centre de gravité?
51. On considère les cercles exinscrits à un triangle ABC et l'on joint les points de contact de ces cercles avec les deux côtés qui ont été prolongés; on forme ainsi un nouveau triangle A'B'C.
Soient 0, I, Ia« Ui le les centres, et R, r, ra, r^, r^ les rayons des cercles circonscrit, inscrit et exinscrits à ABC. Démontrer que :
1*" Les côtés des triangles A'B'C, laUIc se coupent, deux à deux, aux pieds des hauteurs des triangles laBC, UCA, IcAB ;
a*" Les droites AA', BB', CC sont les hauteurs de ABC, et leur point de concours H est le centre du cercle circonscrit à A'B'C;
3» AA' = ra, BB' = n, CC = r^, HA' = a R -f- r = 'LtJl^JlIl^IS ;
4"* Les droites A'Iat B'U, CIc sont les symédianes des deux triangles A'B'C, laUIcC*)-
(') Les propriétés de cette figure ont fait l'objet du concours d'agrcgatioo en 1873.
49^ GÉOMÉTRIB DU TRIANGLE.
52. Sur les côtés d'un triangle ABC, on construit extérieurement les triangles Â'BC, AB'C, ÂBC semblables à un triangle donné a^y; de même, on construit extérieurement les triangles A'B'C, A'B'C, A'B'C semblables à «Py- Démontrer que :
1° Les circonférences circonscrites aux six triangles A'BC, — A'^B'C', . . . passent par un même point;
2,"* Les points A, A', A', 0 sont en ligne droite et AA'= AA';
3» Les droites BC et B'C, CA' et C'A, AB' et A' B se coupent en trois nouveaux points A'", B"', C" tels, que les droites A A'", BB*", CC" concourent en un même point 0';
4* Les droites A' A", B'B"', C'C"', 00' sont parallèles entre elles.
53. Étant donné un triangle ABC, on peut construire sur BC, du même côté que ABC, cinq triangles BCAi, CAjB, CBA3, A4CB, BÂsC semblables à ABC. Démontrer que les six points A, Ai , As, A3, A^, -U sont sur une même circonférence, et que les triangles AAfAs, A^A^As sont semblables à ABC.
54. Sur le côté BC d'un triangle ABC, on construit tous les triangles ayant même angle de Brocard V que le triangle ABC. Le lieu des sommets est une circonférence, dont le centre N» est situé sur la perpendiculaire menée au milieu de BC; l'angle BNaC = 2V, et les tangentes menées de B et C à cette circonférence sont égales à BC.
55. Trois points Ai, Bi, Ci se meuvent sur les côtés BC, CA, AB d'un triangle ABC, de manière que le triangle AiBid soit toujours semblable à ABC. Soient A'i, Bf, C'i les seconds points de rencontre des côtés de ABC avec la circonférence AiBiCi.
Démontrer les théorèmes suivants :
1*" Les triangles AiBiCi ont pour centre permanent de similitude le centre 0 du cercle ABC ; les triangles A'i B'i C'j sont semblables au triangle orthique de ABC et ont pour centre permanent de similitude Torthocentre H du triangle ABC.
2' Les droites BiC'i, CiA',, AiB'j forment un triangle abc, et les droites BjCijC'i Ai, A'iBi forment un triangle a'b'c' \ les côtés de ce5 triangles ont des directions invariables, et leurs sommets parcourent trois droites fixes AE, BE, CE passant par le réciproque de 0 par rapport au triangle ABC.
3* Les orthocentres des triangles ABiCi, BCi Ai, CAiBi sont à Tintersection de la circonférence AiBiCi avec les perpendiculaires menées aux milieux des droites HA, HB, HC ; ces points sont, en même temps, les centres des cercles circonscrits aux triangles ABjCj, BC'jA'i, C A I B'i .
Les deux triangles AiBiCi, A',B'iC'i peuvent être homologiques par
rapport au point E : les droites AA'i, BBi, CC| ont alors des directions connues; quel est le rapport de similitude de ÂiBiCi, ABC?
56. Les bissectrices intérieures du triangle ABC rencontrent la circonférence circonscrite aux points A',B', C; celles du triangle A'B'C rencontrent la circonférence aux points A', B', C ; et ainsi do suite.
Démontrer que les triangles ainsi obtenus ont pour limites deux triangles équilatéraux symétriques par rapport au centre du cercle ABC.
