AC

A'C" /?«' a' p^-r-pq-Y-q^

A'^B^C'* iq—p)^ ABC p^ -\~ pq -\- q'^

5^ Les triangles ABC, A'B'C, A'B^C' ont môme angle de Brocard.

24. Le centre des sy médianes d'un triangle ABC et le centre du cercle circonscrit sont des points réciproques par rapport au triangle complémentaire do ABC.

Le réciproque de lorthocentre de ABC est Tanticomplémentaire du centre des sy médianes.

25. Soient G, H le centre do gravité et Torthocentre du triangle ABC

et soient «i, ^i, yi) ^^Sf Ps) ïs les points de rencontre des hauteurs et des médianes de ABC avec la circonférence décrite sur 6H comme ditmètre. Démontrer que :

i"" Le triangle ai^iyt est inversement semblable à ABC, et que le triangle a^ ^,^2 ^st inversement semblable au triangle podaire du centre K des symédianes de ABC.

1"* Les droites aiaji ^iPit Yiïs ^^^^ 1^^ symédianes des triangles «1 PîTiï «îPïTî et se coupent en K.

26. Les tangentes menées par les sommets d'un triangle ABC au cercle circonscrit formant le triangle RaK^Ec :

i"* Les coordonnées normales absolues de K^ sont a tangA,

iftlangA, ilangA.

9.° Yia et ses projections sur les côtés de ABC sont les sommets d'un parallélogramme.

3"* Les droites joignant Ka, K/,, Kc aux pieds Hi, Ht, H3 des hauteurs de ABC se coupent en un point de la droite OH, qui est l'inverse de l'anticomplémentaire de K.

4*" Les droites joignant A, B, C aux milieux des segments OKa, OK^. OKc concourent au point inverse du centre du cercle des neuf points de ABC.

S'* Le centre du cercle circonscrit au triangle KaK^K^ est sur la droite OH.

27. Parmi les triangles inscrits à ABC, celui dont la somme des carrés des côtés est minimum a pour sommets les projections de R sur BC. CA, AB.

28. Soient I le centre du cercle inscrit (r) au triangle ABC; s, p, v les points de contact de ce cercle avec les côtés de ABC; Ole centre du cercle ABC de rayon R ; G' le centre de gravité du triangle apY* ^

01. r montrer que G' est sur la droite 01, que IG' = -^ et que la polaire

de G' par rapport au cercle I passe par les pieds des bissectrices extérieures du triangle ABC.

29. Sur les côtés BA, CA d'un triangle ABC, on prend les longueurs BD = CE = BC. Démontrer que la droite joignant les centres 0, I du cercle circonscrit et du cercle inscrit au triangle ABC est perpendiculaire à la droite DE et égale au diamètre du cercle circonscrit au triangle ADE.

Quel est le théorème analogue sur les cercles exinscrits?

30. Si la droite OK du triangle ABC est parallèle à BG, on a les propriétés suivantes :

2'»V= i-iT — A;

y Q est sur la hauteur BHs, û' sur la hauteur GHa ; 4° La médiane CG' et la hauteur BHi se coupent sur la symédiane AK ; il en est de même de BB' et GHs ; 5* AA' passe par le milieu de OK.

31 . La droite ÛQ' est parallèle ou perpendiculaire à AA' ou parallèle à OA, lorsque, respectivement,