L - PREMIÈRES NOTIONS SUR LE PLAN

DÉFINITIONS

487. Un plan est une surface telle qu'une ligne droite y est contenue tout entière dès qu'elle y a deux points (5). Celte surface est illimitée; toutefois, pour la représenter, on est obligé de lui assigner des limites; on représente un plan par une Qgure tracée dans ce plan, le plus souvent par un parailélogramme.

488. Il résulte de la déQnition du plan qu'une droite et un plan ne peuvent offrir que trois positions relatives :

i^ La droite a deux points communs avec le plan, et alors elle y est contenue tout entière.

a** La droite n'a qu'un point commun avec le plan; on dit alors que la droite et le plan se coupent.

3® La droite n'a aucun point commun avec le plan; on dit alors que la droite et le plan sont parallèles.

Quand une droite CC et un plan P se coupent (/g. 275),

R. «t 01 C. — Tr, de Géom. (H* Partie). I

a GÉOMÊTBIB DANS L'ESPACB.

leur poini commun D divise la droite CC en deux parties DC et DC\ situées de part et d'autre du plan ; cela résulte de ce que la droite et le plan sont indéfinis.

THÉORÈME

489. i^ Deux plans P et Q, qui ont un point commun k, ont une droite commune passant parce point,

2^ Deux plans P et Q, qui ont en commun une droite AB et un point C extérieur à cette droite, coïncident dans toute leur étendue.

En effet:

i"" Par le point A commun aux deux plans P et Q (fig. 2176], menons dans le plan Q deux droites quelconques LALS NAN'. Si Tune de ces droites a, avec le plan P, un point commun autre que A, elle appartient tout entière à ce plan; elle esi donc commune aux deux plans P et Q, et le théorème est démontré.

Fiç. 176. Fîg. 277.

Supposons donc que les droites LkU, NAN' coupent Tune et l'autre le plan P, et prenons un point quelconque £ sur la partie de la droite LAL' qui est au-dessus du plan P, et un point quelconque F sur la partie de la droite NAN', qui est au-dessous du plan P. La droite EF» passant d'un côté à l'auu^ du plan P, coupe ce plan en un point I; par suite, la droite Al est commune aux deux plans P et Q, puisqu'elle a deux points A et I dans chacun d'eux.

2** Par le point C et par deux points E et F, pris è volonté sur AB (/ig. 277), menons les droites indéfinies CE et CF; ces deux droites appartiendront, comme la droite AB, aux deux plans P et Q, puisque chacune d'elles a deux points dans

LIYRB Y. — LB PLAN. 3

chacun de ces plans. Cela posé, soit M un point quelconque du plan P; menons par M, dans ce p1an> une droite quelconque MX; cette droite rencontrera au moins deux des droites AB, CE» CF; les deux points de rencontre I et K appartiendront au plan Q ; par suite, il en sera de même de la droite MX tout entière et, en particulier, du point M. Ainsi tout point M de Tun des plans appartient à Tautre, ce qui prouve que ces deux plans coïncident.

COROLLAItBS.