LIVRE V. - LB PLAN. l

lion, sera une perpendiculaire AB menée au plan P par le point A.

Fig. a88.

On ne peut en mener qu'une; car, si l'on pouvait en mener deux, AB et AB', le plan BAB' couperait le plan P suivant une droite AC perpendiculaire à la fois à AB et à AB'.

a*» Supposons le point A extérieur au plan P (Jig. ^89).

Fig.

Soit Q le plan mené par A parallèlement au plan P. Les plans parallèles P et Q ayant leurs perpendiculaires communes (513), dire que, par le point A, on peut abaisser une perpendiculaire sur le plan P et qu*on ne peut en abaisser qu'une, c'est dire que par le point A on peut élever une perpendiculaire sur le plan Q, et qu'on ne peut en élever qu'une; or c'est ce que nous venons d'établir (i*).

COROLLAIIB.

519. Deux droites A et B, perpendiculaires à un même plan P, sont parallèles ou coïncident.

En effet, si les droites A et B ont un point commun, elles coïncident, puisque, de ce point, on ne peut mener qu'une perpendiculaire au plan P. Si les droites A et B n'ont pas de point commun, imaginons, par un point M de B, la parallèle A' à A. Cette droite A^ sera perpendiculaire au plan P (513); elle coïncidera donc avec B, puisque, du point M, on ne peut mener qu'une perpendiculaire au plan P.

|6 GÊOMÉTaiB DANS L*KSPACE.

Les propositions des n°* 517 et 519 sont les réciproques de celles du n** 513.

520. Si une droite AB est perpendiculaire au plan P, toute perpendiculaire CD à la droite AB est parallèle au plan P, ou située dans ce plan [fig, ^90).

En effet, menons par le point A la parallèle AE à CD : Tangle BAE sera droit. Par suite, la droite AE sera contenue dans le plan P; car sans cela le plan BAE couperait le plan P suivant une autre perpendiculaire à AB (512), et Ton aurait au point A, dans le plan BAE, deux perpendiculaires sur BA, ce qui esl impossible. La droite CD, étant alors parallèle à une droite AE du plan P, est parallèle à ce plan ou située dans ce plan (497).

Cette proposition est la réciproque de la définition adoptée au n<» 512.

Corollaires.

521. Le lieu géométrique des perpendiculaires que Ton peut mener à une droite AB par un point C est le plan P mené par ce point perpendiculairement à la droite AB [Jig, ^9»);. car Tune quelconque CD de ces perpendiculaires doit être parallèle au plan P ou y être contenue tout entière : c*est ce dernier cas qui a lieu ici, puisque la droite CD a déjà un point commun avec le plan P.

Fig. agi.

622. Le lieu des points de l'espace équidistants des extrémités d'une droite XY est le plan élevé perpendiculairement sur le milieu de cette droite (Jîg. a86). En effet, dans un plan quelconque XYB passant par XY, le lieu des points équidistants des extrémités de cette droite est la perpendiculaire AB élevée dans ce plan sur le milieu A de XY; or on vient de voir que le lieu des diverses perpendiculaires élevées sur XY