LIVRE T. — LE PLAN. . IQ

plan P, sa projection sur ce plan se réduit évidemment à un point e,

529. Lorsque la droite est, comme CD, parallèle au plan P, elle est parallèle à sa projection cd sur ce plan (iSi-95j.

Corollaires.

530. Les projections ab et cd de deux droites parallèles AB et CD, sur un même plan P, sont parallèles [fg. tigS).

Fig. 295.

Car la projetante ka d'un point quelconque de AB et la projetante Ce d'un point quelconque de CD étant parallèles, les angles BA a, DC c ont leurs plans parallèles (506) ; et, par suite, les droites ab et ce/, suivant lesquelles le plan P coupe ces deux plans, sont parallèles.

THÉORÈME

531. Lorsque deux droites AB et CD de l'espace sont perpendiculaires Tune à l'autre, leurs projections ab et cd sur un plan P parallèle à l'une d'elles CD sont aussi perpendiculaires entre elles [fig- 296).

Fig. 396. Fig 397.

En effet, la droite cd est, comme sa parallèle CD, à angle droit sur AB ; elle est d'ailleurs a angle droit sur la pro* jetante A a, droite perpendiculaire au plan P qui contient cd.

20 GfiOMÉTRIB DANS L* ESPACE.

Donc, cd est perpendiculaire au plan ABa6 et, par suite, à ab,

532. Réciproquement, deux droites de l'espace ÂB et CD sont perpendiculaires l'une à l'autre, si leurs projections ab et cd sur un plan P parallèle à l'une d'elles CD sont perpendiculaires entre elles [fi g. 296).

£n effet, la droite cd, étant à angle droit sur ab et sur Aa, est perpendiculaire au plan ABba, Il en est donc de même de sa parallèle CD, qui, par suite, est perpendiculaire à AB.

Dans le cas très-particulier où le plan P contient CD et où les droites AB et CD se coupent, cette réciproque revient au théorème connu sous le nom de théorème des trois perpendiculaires:

Si du pied a d'une perpendiculaire Aa à un plan P on mène la perpendiculaire àB sur une droite quelconque CD tracée dans ce plan, la droite AB qui joint au point B un point quelconque de la perpendiculaire Aa est perpendiculaire à CD [Jig» 297).

11 y a une seconde réciproque que nous nous contenterons d'énoncer : Si deux droites rectangulaires ont leurs projec' tions rectangulaires, l'une d'elles au moins est parallèle au plan de projection.

Corollaire.

533. Considérons une droite quelconque AB et un plan Q perpendiculaire à cette droite ; soient ab la projection de AB sur un plan quelconque P [Jig. 298), et CD l'intersection des

plans P et Q, ou la trace du plan Q sur le plan P. Les deux droites AB et CD étant perpendiculaires Tune à Tautre, il doU en être de même de leurs projections ab et CD; de là ce théorème, fondamental en Géométrie descriptive : Lorsqu'une droite est perpendiculaire à un plan Q, sa projection sur un