LIVRE V. — LE l»LAN. ai

plan quelconque P est perpendiculaire à la trace du plan Q sur le plan P.

THÉORÈME

53b. Lorsqu'une droite AB est oblique à un plan P, l'angle aigu BA b que cette droite fait avec sa projection sur ce plan est moindre que l'angle BAC quelle forme avec toute autre droite AC passant par son pied dans le plan [fi g, ^99)-

En effet, 6 étant la projection d'un point quelconque B de la droite AB, prenons AC = Aft et menons BC. Les deux triangles BA6, BAC ont deux côtés égaux; mais le troisième côté Bfc du premier étant moindre que le troisième côté BC du second, puisque la perpendiculaire est plus courte que l'oblique, il faut que Tangle BAfr soit moindre que l'angle BAC.

ScouE.

535. En faisant parcourir au point C le cercle décrit dans le plan P, du point A comme centre avec A6 pour rayon, on voit que Toblique BC croît d'une manière continue depuis le point b jusqu'au point 6', puis décrott en reprenant successivement les mêmes valeurs depuis 6' jusqu'en b. Par suite, l'angle BAC, minimum lorsque le point C est en 6, croit jusqu'à ce que le point C soit en V : il est alors maximum; puis il décroît, en reprenant successivement les mêmes valeurs, depuis 6' jusqu'en b.

536. On appelle angle d'une droite et d'un plan l'angle aigu que cette droite forme avec sa projection sur ce plan.

537. On voit aisément que l'angle d'une droite D et d'un plan P est égal à Vangle d'une droite quelconque D' parailèle à h et d'un plan quelconque P' parallèle à P.

GÈOllfiTRIB DANS L ESPACE.

THÉORÈME

538. Étant données deux droites AB et CD non situées dans le même plan : i*^ il existe une droite, et une seule, qui les rencontre l'une et l'autre à angle droit; a*» cette perpendiculaire commune est la plus courte distance des deux droites [fis- 3oo).

Fig. 3oo.

Fig. Soi.

En effet :

1*» Par un point quelconque A de AB, menons la parallèle At à CD; le plan BAE, que nous désignerons par P, sera parallèle à CD; par suite, nous aurons la projection de CD sur ce plan P en menant une parallèle de à la droite DC par la projection d d'un point quelconque D de cette droite. Cela posé, pour qu'une droite rencontre à la fois AB et CD à angle droit, il faul et il suffit qu'elle soit perpendiculaire au plan P en un point de AB, et qu'elle ait son pied sur crf, lieu des pieds des perpendiculaires au plan P menées par des divers points de CD. Or la perpendiculaire au plan P élevée par le point c commun à AB et à cd remplit seule ces conditions. Il existe donc une droite Ce, et une seule qui rencontre à angle droit les deux droites données AB et CD.

2" Cette perpendiculaire commune Ce est moindre que toute autre droite BD joignant un point de AB à un point de CD. Car, Drf étant la projetante du point D, on a évidemment Cc = DdetDrf<DB.

SCOLIES

539. La démonstration qui précède permet d'obtenir la plus courte distance des deux droites AB et CD. Voici un second procédé très usuel ( /îg. Soi).

On projette l'une des droites CD sur un plan P perpendiculaire à l'autre droite AB. Du pied A de AB sur le plan P, on