VII. - ANGLES POLYÈDRES

DÉFINITIONS

564. Lorsque plusieurs plans ASB, BSC, CSD, . . . [Jig, 3i4 ) se coupent successivement suivant des droites SB, SC, SD, . . . qui concourent en un même point S, on dit qu'ils forment un angle polyèdre. Le point S est \e sommet, les droites SA, SB, se, . . . sont les arêtes^ et les angles ASB, BSC, CSD, . . . sont les faces de Tangle polyèdre.

On désigne un angle polyèdre par la lettre du sommet suivie des lettres relatives aux diverses arêtes. Ainsi, pour indiquer l'angle polyèdre de la fig. 3i4» on dira l'angle SABCDE, ou plus simplement l'angle S; car, quand un angle polyèdre est Isolé, la lettre du sommet suffit.

Fis. 3 14.

Il faut au moins trois plans pour former un angle polyèdre. L'angle formé par trois plans prend le nom d'angle irièdre. Dans un angle' trièdre BACS [fig. 3i4)> on distingue six éléments, savoir : les trois faces SBA, SBC, ABC, et les trois dièdres BA, BC, BS.

565. On dit qu'un angle polyèdre est convexe, lorsqu'il est situé tout entier d'un même côté par rapport au plan Indéflni de chacune de ses faces {fig. 3i4) ; il est concave dans le cas contraire (fig. 3i5).

GÉOMÉTRIE DAKS L'ESPAGB.

Considérons un angle polyèdre convexe SABCDE (Jig. 3i6); ses arêtes seront, d'après la définition de la convexité, situées toutes d'un même côté du plan PQ d'une face quelconque ASB; dans la^îgp. 3i6, nous les avons placées, pour Oxer les

Fig. 3 16.

idées, au-dessus de ce plan. Par le point S, dans le plan PQi menons une droite MN située en dehors de l'angle ASB, et concevons une série de plans menés par la droite MN et contenant successivement chacune des arêtes SC, SD, SE. Si DSM ou RMN est celui de tous ces plans qui fait le plus petit angle avec la portion PMN du plan PQ, l'angle polyèdre proposé SABCDE sera situé tout entier dans l'angle dièdre RMNQ formé par la partie antérieure Q et la partie supérieure R des deux plans PQ, RT. Donc, tout plan GH mené par MN et situé dans l'angle dièdre PMNR et dans son opposé par l'arête QMNT sera un plan mené par le sommet S et laissant toutes les arêtes d'un même côté. Par suite, tout plan parallèle au plan GH et situé, comme l'angle polyèdre SABCDEi à droite de GH, coupera toutes les arêtes de cet angle sans passer par le sommet. Le section sera donc un polygone ABCDC ayant autant de côtés que l'angle polyèdre a de faces, et ce polygone sera<;onvexe; car, l'angle polyèdre étant tout entier d'un même côté, par rapport au plan de chacune de ses faces, le polygoqe se trouvera, par là même, situé tout entier d'uo même côté par rapport à chacune des droites indéflnies qtii unissent deux sommets consécutifs quelconques.

LIfHI Y. — LE PLAN.

566. Si Ton prolonge au delà du sommet S toutes les arêtes d'un angle polyèdre SABCDE [fig. 817), on obtient un autre angle polyèdre SA'B'C'D'E' qui est dit le symétrique du premier.

Deux angles polyèdres symétriques SABCDE, SA'B'C'D'E' ont tous leurs éléments respectivement égaux : les faces ASB et A'SB', BSC et B'SC, ... sont égales deux à deux comme angles plans opposés par le sommet, et les angles dièdres SA et SA', SB et SB% . . . sont égaux comme opposés par l'arête. Mais la disposition des parties égales n'est pas la même dans les deux angles polyèdres. En effet, un observateur couché sur l'arête SA, ayant la tête en S, les pieds en A, et regardant Tintérieur de Tangle SABCDE, verrait les arêtes se présenter de

Fîg. 317.

droite i gauche dans Tordre SB, SC, SD, SE; tandis qu*un observateur placé de la même manière dans l'autre angle SA'B'CD'E', c'est-à-dire couché sur SA', ayant la tête en S, les pieds en A' el regardant l'intérieur de l'angle, verrait les arêtes se succéder de droite à gauche dans l'ordre inverse SE', SD',SC',SB'.

A cause de cette différence de disposition, deux angles polyèdres symétriques^ bien qu'égaux dans toutes leurs parties, ne sont pas superposât les.

En effet, considérons, par exemple, deux trièdres symétriques SABC eiSA'B'C (Jlg. 3i8), et supposons, pour fixer les Idées, que l'arête SC soit en avant du plan ASB, et, par suite, que son prolongement SC' soit en arrière du même plan. 11 y a

R. et De G. ~ 7r. c/e Géom, ( 11* Partie). 3

34 GfiOMÊTKIE DANS l'BSPACE.

deux manières différentes d'essayer la superposition des deux trièdres.

1" Concevons [fig, 3i8) la perpendiculaire élevée par le point S sur le plan ÂSB, et faisons tourner le trièdre SA'B' C de i8o degrés autour de celle droite dans le sens de la flèche/; Tarête SA\ qui dans ce mouvement ne sort pas du plan ASB, viendra sur SA; de même SB' s'appliquera sur SB; maisTaréie se restera toujours en arrière du plan ASB; par suite, dans sa nouvelle position, le trièdre SA'B'C ne coïncidera pas avec SABC.

2" Menons (fig. 319) la bissectrice :rS/de Tangle BSA', el, autour de celte droite, qui est siluée dans le plan ASB, faisons

Fie- 319.

tourner le trièdre SA'B'C de 180 degrés dans le sens de la flèche 9. L'aréle SA' s'appliquera sur SB, 1 arèleSB' surSA, el, parsuiie, la face A' SB' coïncidera avec BSA ;de plus, l'arête SC viendra celle fois en avant du plan ASB. Mais la nouvelle position SC, de celte areie différera en général de SC ; car, les angles dièdres suivant les arèies SA et SB étant en géaéral inégaux, il en sera de même des angles dièdres SB. et SA', et, par suite, les plans CSB et Ci SB, étant inégalement inclinés sur le plan ASB, ne coïncideront pas.

On voit cependant que la coïncidence aurait lieu si le trièdre SABC avait les deux angles dièdres SA et SB égaux entre eux. Car, dans cette hypothèse, les plans Ci S B et CSB seraient également inclinés sur le plan ASB; ils tomberaient donc l'un sur Tautre; il en serait de même des plans C|SA eiCSA, et,