VI. — PLANS PERPENDICULAIRES

THÉORÈME

557. Lorsque deux plans P et Q sont perpendiculaires l'un à l'autre, toute droite AB, menée dans le premier plan P per-

LIVRB V. — LE PLAN. 29

pendiculairement à V intersection commune CD^ est perpendi" culaire à Vautre pian Q {fg. 3io),

En effet, les deux plans P et Q étant perpendiculaires Tun à l'autre, Tangle plan correspondant à l'angle dièdre PCDQ doit être droit ; or on forme cet angle plan ABE en élevant, dans le plan Q et par le point B, la perpendiculaire BE à CD ; donc la droite AB est perpendiculaire à BE, et, comme elle l'est aussi par hypothèse à CD, elle est perpendiculaire au plan Q.

Fig. 3 10.

Fig. 3 II.

558. Si une droite AB est perpendiculaire à un plan Q, tout plan P passant par cette droite ou parallèle à cette droite est perpendiculaire au plan Q.

En effet :

i« Si le plan P passe par AB {Jig. 3io), menons dans le pian Q et par le point B la perpendiculaire BE à l'intersection CD des deux plans P et Q. L'angle ABE sera droit, puisque la droite AB est, par hypothèse, perpendiculaire au plan Q; d'ailleurs, cet angle ABE est l'angle plan du dièdre PCDQ ; donc ce dièdre est droit, et le plan P est perpendiculaire au planQ.

a" Si le plan P est parallèle à AB (Jig. 3i i), menons par un point quelconque E de ce plan la parallèle EF à AB; cette droite EF sera à la fois perpendiculaire au plan Q et située dans le plan P. Donc le plan P, passant par une droite EF perpendiculaire au plan Q, sera perpendiculaire à ce plan (i*"].

559. Réciproquement, si deux plans Q et P sont perpendiculaires entre eux 9 toute droite AB perpendiculaire au premier plan Q est située dans l'autre plan P ou lui est parallèle.

En effet, si la droite AB n'avait qu'un seul point commun

GfiOMfiTBlB DANS L'KSPAGK.

avec le plan P» en menant de ce poini une perpendiculaire sur l'interseclion CD des plans P el Q [fig. 3ii), celle perpendiculaire sérail perpendiculaire au plan Q, el l'on pourrait mener d'un même poinl deux perpendiculaires au^plan Q; ce qui est impossible. La droile AB, ne pouvanl couper le plan P»esi donc parallèle à ce plan ou située dans ce plan.

COROLLAIBB.

560. Par une droite AB oblique à un plan P {Jig, Sial, on peut abaisser un plan perpendiculaire sur ce plan P, et l'on n( peut en abaisser qu'un.

En effety le plan BAa^ déterminé par la droile AB elparli perpendiculaire Aa au plan P abaissée d'un poinl quelconque de AB, est perpendiculaire au plan P. C'est le seul, car loo^ plan conduit par AB perpendiculairement au plan P doit contenir la perpendiculaire A a.

Fiç. 3i3. Fiff. 3i3.

THÉORÈME

561. Si deux plans 9 et Q sont perpendiculaires à un ttoisième R, leur intersection AB est perpendiculaire à ce troisième plan [Jig. 3i3).

Car si, par un point quelconque de rinterseclion AB, on mène la perpendiculaire au plan R, cette perpendiculaire doit se trouver à la fois dans le plan P et dans le plan Q (559); elle ne diffère donc pas de AB.

COEOLLAIRBS.

562. Un plan perpendiculaire à deux plans qui se coupent est perpendiculaire à leur Intersection.

563. Si les plans P eiQ de hfg. 3i3 formeni un angle dièdre droit, les trois plans P, Q, R seront perpendiculaires entre

UYRB ¥• — LE PLAN.

eux ; l'intersection de deux quelconques de ces plans sera pe^ pendiculaire au troisième, et les trois intersections seront perpendiculaires entre elles.