LIVRE II. — LA CIRCONFÉRENCE DE CERCLE

THÉORÈME

133. Tout angle B4C, formé par deux sécantes qui se rencontrent hors du cercle, a pour mesure la demi-différence de rare concave BC et de Varc convexe DE compris entre ses i'ôtés [fig. 93).

En effel, en menant DC, on voit que l'angle BDC, extérieur iiu triangle DAC, est la somme des angles A et C; par suite, Tangle A est l'excès de l'angle BDC sur l'angle C; sa mesure est donc lexcès de \ BC sur | DE, c'est-à-dire ^ (BC — DE).

En faisant tourner autour du sommet A l'un des côtés, ou même les deux côtés de l'angle, jusqu'à ce qu'ils deviennent tangents à la circonférence, on voit que le théorème subsiste pour l'angle formé par une tangente et une sécante qui se coupent hors du cercle, et pour l'angle de deux tangentes.

Corollaire.

1 34. Dans la portion de plan située au-dessus d'une droite BC, le lieu des points d*où l'on voit cette droite sous un angle donné est un arc de cercle passant par les extrémités B et C de cette droite ^fig» 94 )•

En effet, soient A un point du lieu et BMACN la circonférence déterminée par les trois points A, B, C. i° De tout point M de Tare BMAC on voit la droite BC sous un angle égal à BAC (131 ); 2° de tout point 1 pris à l'intérieur du segment BMAC, on voit la droite BC sous un angle BIC plus grand que BAC, puisque (132) sa mesure excède la moitié de Tare BNC; 3° de tout point E extérieur au segment BMAC et situé au-dessus de la droite BC, on voit celte droite sous un angle BEC moindre que BAC, puisque sa mesure est plus petite que la moitié de l'arc BNC (133). L'arc BMAC est donc le lieu cherché.

11 résulte de là que l'arc BA'C, sur lequel s'applique Tare BMAC, lorsqu'on replie la figure autour deBC, est, au-dessous de BC, le lieu des points d'où Ton voit la droite BC sous l'angle donné.

Donc, enfin, le lieu des points d'où l'on voit une droite BC SONS un angle donné se compose de deux arcs de cercle égaux

CH GfiOnÉTRIB PLANE.

entre eux et passant par les extrémités h et C de cette droite Remarquons, en ouire, que l'ensemble des arcs BNC, BN'C, représente le lieu des points d'où l'on voit la droite BC soua un angle supplémentaire de l'angle considéré (131 ).

Fig. 94. Fi{i. 9^.

Si l'angle considéré est droit, les deux arcs BAC, B A'C, sont des demi-circonférences décrites sur BC comme diamètre. Donc, le lieu des points d'oà l'on voit une droite sous un angle droit est le cercle décrit sur cette droite comme diamètre.

THÉORÈME

135. Dans tout quadrilatère convexe inscrit dans un cercle, les angles opposés sont supplémentaires,

£n effet (yzg. gS), considérons par exemple les angles opposés, B et D. La corde AC détermine deux segments ADC, ABC, et nous avons vu (131] que tout angle D inscrit dans le segment supérieur est le supplément de tout angle B inscrit dans le segment inférieur.

Réciproquement, si, dans un quadrilatère convexe ABCD» deux angles opposés B e/ D sont supplémentaites^ le quadrilatère est inscriptible ; en d'autres termes, la circonférence déterminée par les trois points A, B, C, passera par le quatrième sommet D.

En effet, le sommet D est un point situé au-dessus de AC, 61 d'où l'on voit la corde AC sous un angle supplémentaire de Tangle B; or l'arc AMC est le lieu des points du plan qui jouissent de cette propriété (134).